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Vitesse d'une onde

Une onde est une perturbation qui se déplace dans un milieu. Il est possible de lui associer deux vitesses d'onde, soit la vitesse de phase et la vitesse de groupe qui, parfois, ne sont pas égales :

  • Dans un milieu homogĂšne, la propagation dans une direction donnĂ©e d'une onde monochromatique (ou sinusoĂŻdale) se traduit par une translation de la sinusoĂŻde Ă  une vitesse appelĂ©e « vitesse de phase » ou « cĂ©lĂ©ritĂ© ». Dans un milieu non dispersif, cette vitesse ne dĂ©pend pas de la frĂ©quence. En superposant des ondes monochromatiques de diverses frĂ©quences (ou pulsations), on obtient des ondes plus complexes (voir Analyse spectrale). Lorsque la vitesse de phase est indĂ©pendante de la frĂ©quence, l'onde rĂ©sultante subit aussi une translation globale de son profil, ceci sans dĂ©formation.
  • Dans un milieu dispersif ou lorsque les directions de propagation sont diverses (en dimension supĂ©rieure Ă  1), les composantes respectives se dispersent. Dans ce cas, il est souvent possible d’identifier des paquets d'ondes (ou groupes d'ondes) se dĂ©plaçant Ă  une vitesse de groupe diffĂ©rente des vitesses de phase des composantes.

Vitesse de phase

Vitesse de phase d’une onde monochromatique. Le point rouge, localisĂ© sur l’onde Ă  une phase donnĂ©e (la crĂȘte, dans cet exemple), avance Ă  la vitesse de phase.

La vitesse de phase d'une onde est la vitesse Ă  laquelle la phase de l'onde se propage dans l'espace. En sĂ©lectionnant un point particulier de l'onde (par exemple la crĂȘte), ce point immatĂ©riel se dĂ©place dans l'espace Ă  la vitesse de phase. Elle s'exprime en fonction de la pulsation de l'onde ω et du nombre d'onde k :

La notation reprĂ©sente la partie rĂ©elle du complexe k. La partie imaginaire de k n'ayant qu'un effet d'attĂ©nuation de l'amplitude, il ne faut tenir compte que de la partie rĂ©elle du module d'onde. Supposons maintenant k rĂ©el. Partant d’une onde monochromatique dĂ©finie dans l’espace et le temps par , considĂ©rons une surface d'onde qui est constituĂ©e de l'ensemble des points ayant la mĂȘme valeur de , et par consĂ©quent la mĂȘme valeur de la phase : c'est le plan de phase. Si le plan de phase est localisĂ© en au temps et en au temps , alors :

Ainsi, par différence : i.e.

Cas des ondes électromagnétiques

Dans le vide, la vitesse de phase d’une onde Ă©lectromagnĂ©tique est Ă©gale Ă  une constante qui est la vitesse de la lumiĂšre. Dans un milieu transparent, elle diminue d’un facteur qui, par dĂ©finition, est Ă©gal Ă  l’indice de rĂ©fraction n du milieu :

De plus, ce milieu Ă©tant gĂ©nĂ©ralement dispersif, l’indice dĂ©pend de la longueur d'onde, ce qui conduit Ă  introduire la notion de vitesse de groupe qui sera notĂ©e , ceci lorsque l’onde observĂ©e est une superposition ou une combinaison linĂ©aire d’ondes monochromatiques de frĂ©quences voisines. En effet, Ă  un instant donnĂ©, la superposition des composantes est constructive en certains points, mais destructive en d’autres.

Vitesse de groupe

Vitesses de phase et de groupe d’une superposition de deux ondes monochromatiques. Le point rouge avance à la vitesse de phase, et les points verts à la vitesse de groupe. Dans cet exemple, la vitesse de phase vaut le double de la vitesse de groupe.
Un exemple dans lequel la vitesse de groupe et la vitesse de phase sont de signes opposés : l'enveloppe du paquet (donc la vitesse de groupe) se dirige vers la droite, alors que la phase (donc la vitesse de phase) se dirige vers la gauche.

D'aprÚs ce qui précÚde, la vitesse de phase d'une onde monochromatique est égale au rapport entre sa pulsation et son nombre d'onde (norme du vecteur d'onde).

ConsidĂ©rons le cas le plus simple d’une onde constituĂ©e de la superposition de deux ondes de pulsations voisines et d'amplitude unitĂ© (les phases, qui interviennent peu, sont ignorĂ©es) :

A l’aide d’une relation classique en trigonomĂ©trie selon laquelle une somme de cosinus est Ă©gale Ă  un produit de cosinus (Formules de Simpson), il vient :

Ainsi, l’onde considĂ©rĂ©e est constituĂ©e du produit de 2 termes :

  • Le premier est une onde monochromatique dont la vitesse de phase est correspondant Ă  une moyenne pondĂ©rĂ©e des vitesses de phase des deux composantes par leurs vecteurs d’onde respectifs.
  • Le second est une autre onde monochromatique dont la vitesse de phase est . Il intervient alors comme modulateur d’amplitude du premier terme.

Il se produit ainsi un phĂ©nomĂšne de battement par lequel une sinusoĂŻde de caractĂ©ristiques proches de celles des deux composantes est modulĂ©e en amplitude par une sinusoĂŻde de pulsation infĂ©rieure. Pour des valeurs voisines des deux pulsations et des deux vecteurs d’ondes des composantes, la vitesse de groupe est approximativement Ă©gale Ă 

Dans le cas gĂ©nĂ©ral de la superposition de nombreuses ondes monochromatiques, cette vitesse de groupe concerne une enveloppe plus complexe qu'une sinusoĂŻde. Il est possible de gĂ©nĂ©raliser l’approche prĂ©cĂ©dente aux paquets d’ondes dans un espace Ă  plusieurs dimensions.

La relation qui exprime la pulsation en fonction du vecteur d'onde est la relation de dispersion. Lorsque la pulsation est directement proportionnelle au module du vecteur d'onde et que ces derniers sont tous colinéaires, alors la vitesse de phase est indépendante de la pulsation et la vitesse de groupe est égale à cette vitesse de phase commune. Dans le cas contraire, l'enveloppe de l'onde se déforme au cours de la propagation.

Cas des ondes électromagnétiques

Pour une onde Ă©lectromagnĂ©tique, la vitesse de phase et la vitesse de groupe sont liĂ©es par l’approximation (valable pour les basses frĂ©quences seulement) :

oĂč est la vitesse de la lumiĂšre dans le vide et l’indice de rĂ©fraction du milieu.

La dispersion qui est Ă  la base d’une vitesse de groupe diffĂ©rente de la vitesse de phase est un effet important qui est pris en compte pour la transmission d'informations par fibres optiques.

La vitesse de groupe est gĂ©nĂ©ralement prĂ©sentĂ©e comme la vitesse Ă  laquelle l'Ă©nergie ou l'information est transportĂ©e par une onde. Cette description est gĂ©nĂ©ralement valide, bien qu'il soit tout de mĂȘme possible de rĂ©aliser des expĂ©riences dans lesquelles la vitesse d'impulsions laser envoyĂ©es dans des matĂ©riaux spĂ©cifiques soit supĂ©rieure Ă  la vitesse de transmission du signal.

Vitesse de l’information

Dans certaines circonstances, la vitesse de phase d'une onde Ă©lectromagnĂ©tique peut ĂȘtre supĂ©rieure Ă  la vitesse de la lumiĂšre dans le vide : c’est le cas lorsque, pour certaines frĂ©quences, l'indice de rĂ©fraction du milieu est infĂ©rieur Ă  1 (on observe ce phĂ©nomĂšne pour des rayons X). Une telle situation n'implique cependant pas de transfert d'Ă©nergie ou d'information Ă  une vitesse supĂ©rieure Ă  celle de la lumiĂšre.

En effet, la vitesse de l'information est limitée par la plus faible des deux vitesses, soit , ce qui, par la relation indiquée plus haut, implique :

Pour s’en convaincre, supposons . Dans ce cas, une information qui serait portĂ©e par certaines composantes de l’onde (Ă  la vitesse ) va disparaĂźtre dans le processus de modulation car ce dernier Ă©crase pĂ©riodiquement l’amplitude de ces composantes. Ainsi, une information ne peut ĂȘtre vĂ©hiculĂ©e que par le groupe d’onde. On peut tenir un raisonnement similaire lorsque .

Historique

La distinction entre vitesse de groupe et vitesse de phase est introduite pour la premiĂšre fois en 1880 par Georges Gouy[1].

Références

  1. Émile Picard, « Hommage Ă  la mĂ©moire de Georges Gouy », Comptes rendus hebdomadaires des sĂ©ances de l'AcadĂ©mie des sciences, t. 182, no 5,‎ , p. 293 (lire en ligne)

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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