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Variable propositionnelle

Une variable est reprĂ©sentĂ©e par un symbole qui dĂ©finit une quantitĂ© qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un ensemble de valeurs. En logique mathĂ©matique, une variable propositionnelle  est un symbole qui dĂ©signe une proposition dans le calcul propositionnel, c'est une variable qui peut ĂȘtre remplacĂ©e par une proposition vraie ou fausse ou par une formule qui est elle-mĂȘme composĂ©e de variables propositionnelles et donc qui peut prendre parfois la valeur vraie et parfois la valeur faux. Les variables propositionnelles sont les Ă©lĂ©ments fondamentaux des formules propositionnelles, utilisĂ©s en logique propositionnelle et dans des logiques d'ordre supĂ©rieur.

Généralement, les variables propositionnelles sont désignées par des lettres majuscules comme P, Q, ...

Histoire

Tout d'abord, le premier homme Ă  parler de calcul propositionnel est Aristote en dĂ©finissant une proposition comme Ă©tant quelque chose de vrai ou de faux. Il faudra ensuite attendre le XIXĂšme pour que cette notion soit reprise. Le mathĂ©maticien Boole reprend la notion aristotĂ©licienne. Mais Hugh Mc Coll est peut-ĂȘtre le premier Ă  prendre conscience de l’importance des notions de proposition, de vrai et de faux, puisqu’il les rĂ©unit dans une dĂ©finition initiale, sans cependant essayer d’éclaircir ces notions. En 1903, Bertrand Russell reprend la dĂ©finition de Hugh Mc Coll en Ă©tant plus prĂ©cis. Enfin, David Hilbert va faire la diffĂ©rence entre la logique propositionnelle et la logique des prĂ©dicats dans un livre didactique de 1928.

Pas plus que ses prĂ©dĂ©cesseurs, Gottlob Frege n’essaie de dĂ©finir correctement les notions de proposition et de valeur de vĂ©ritĂ© (tout au moins dans ses premiers Ă©crits). Mais il fait un pas dĂ©cisif en distinguant nettement entre l’énoncĂ© d’une proposition ("simple combinaison d’idĂ©es") et son affirmation ("jugement") : ainsi une proposition Ă©noncĂ©e peut ĂȘtre considĂ©rĂ©e comme vraie ou fausse ; il faut faire quelque chose de plus pour dire si elle est vraie ou fausse.

Usages

Les formules en logique sont généralement construites de maniÚre récursive à partir de certaines variables propositionnelles, connecteurs logiques, et quantificateurs logiques. Les variables propositionnelles sont les formules atomiques de la logique propositionnelle.

La structure interne des variables propositionnelles de la forme : Pa, aQb.., contient des lettres de prédicat, souvent notée P, Q.., qui sont associées à des constantes individuelles, a, b


En logique du premier ordre, les variables propositionnelles sont considĂ©rĂ©es comme des prĂ©dicats nuls, car il n’y a pas de variables objet, x, y.., attachĂ©es aux lettres de prĂ©dicat, c’est-Ă -dire de la forme : Px, xQy..

Exemples

  • Dans une logique propositionnelle donnĂ©e, nous pourrions dĂ©finir une formule comme suit :
    • Chaque variable propositionnelle est une formule.
    • Étant donnĂ© un formule X, la nĂ©gation ÂŹX est une formule.
    • Étant donnĂ© deux formules  X et Y, et un connecteur binaire b (comme la conjonction logique ∧), alors (X b Y) est une formule. (Notez les parenthĂšses.)

De cette façon, toutes les formules de la logique propositionnelle sont construites Ă  partir des variables propositionnelles comme une unitĂ© de base. Les variables propositionnelles ne doivent pas ĂȘtre confondus avec les mĂ©tavariables, qui apparaissent dans les axiomes de calcul propositionnel.

  • Si l'on considĂšre la proposition composĂ©e , les variables propositionnelles sont les lettres P, Q et R.


Par exemple, considérons la table de vérité de l'implication :

V V V
V F F
F V V
F F V

Dans cet exemple, les lettres P et Q sont des variables propositionnelles. Les lettres V et F indiquent la vérité de la proposition : V correspond à vrai et F correspond à faux.

Voir aussi

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Propositional variable » (voir la liste des auteurs).
  • Smullyan, Raymond M. First-Order Logic. 1968. Dover edition, 1995. Chapitre 1.1: Formulas of Propositional Logic.
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