Variété finslérienne

Une définition restrictive consiste à remplacer l'inégalité triangulaire par la convexité quadratique de ${\displaystyle F}$, c'est-à-dire à exiger que le hessien de ${\displaystyle F^{2}}$ soit défini positif. Par hessien on entend la forme bilinéaire suivante :

${\displaystyle g_{m,v}(V,W)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}{\bigr [}F^{2}(m,v+sV+tW){\bigl ]}{\Bigg |}_{s,t=0}\forall v,V,W\in T_{m}M}$.

Une autre manière de parler de la convexité quadratique revient à dire que le sous ensemble convexe ${\displaystyle B_{F}(m)=\{v\in T_{m}M\mid F(m,V)\leqslant 1\}}$ , appelé boule unité de ${\displaystyle F}$ au point ${\displaystyle m}$, admet en chaque point de son bord un ellipsoïde osculateur à l'ordre deux. Il revient au même de dire que la courbure de Gauss du bord de ${\displaystyle B_{F}(m)}$ est strictement positive en tout point. Il est entendu que dans ce cas la fonction ${\displaystyle F}$ doit être suffisamment régulière pour que les dits objets existent. On appel tenseur fondamental le tenseur ${\displaystyle g}$ dans ce cas.

Un espace vectoriel muni d'une norme faible. Si la norme est quadratiquement convexe on parle de norme de Minkowski.

Une variété riemannienne, qui correspond au cas où ${\displaystyle F^{2}}$ est une forme quadratique définie positive en tout point de la variété. Dans ce cas, ${\displaystyle {\bigl (}T_{m}M,F(m,\cdot ){\bigr )}}$ est un espace euclidien pour tout point ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle M}$ et le tenseur fondamental est égal à la forme bilinéaire symétrique définie positive associée à la forme quadratique ${\displaystyle F^{2}}$.

Les métriques de Randers. Elles sont construites à partir d'une métrique riemannienne en la perturbant par une 1-forme. Plus précisément, si ${\displaystyle (M,g)}$est une variété riemannienne et ${\displaystyle \alpha }$ est une forme différentielle de degré un sur la variété, dont la norme est strictement plus petite que 1 (c'est-à-dire que ${\displaystyle \alpha _{m}(v)<{\sqrt {g_{m}(v,v)}}}$ pour tout ${\displaystyle v\in T_{m}M}$ et tout ${\displaystyle m\in M}$), on peut définir la métrique de Finsler suivante ${\displaystyle F(m,v)={\sqrt {g_{m}(v,v)}}-\alpha _{m}(v)}$. Dans ce cas la boule unité est encore un ellipsoïde, mais il n'est plus centré en l'origine.

Les géométries de Hilbert[1]. Elles sont définies à l'intérieur d'un sous-ensemble convexe ouvert et borné d'un espace euclidien comme suit. Soit ${\displaystyle \Omega }$ est un tel ensemble convexe de l'espace euclidien ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},||.||)}$. On considère un point ${\displaystyle p\in {\mathcal {\Omega }}}$ et un vecteur ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ (dans ce cas l'espace tangent est identifié à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$). La droite passant par le point ${\displaystyle p}$ et dirigée par le vecteur ${\displaystyle v}$ intersecte le bord de l'ensemble convexe en deux points ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ (ce qui est également une caractérisation des ensembles convexes). On pose alors

$${\displaystyle F(p,v)=||v||\cdot {\frac {1}{2}}{\biggl (}{\frac {1}{||p-a||}}+{\frac {1}{||p-b||}}{\biggr )}}$$

L'homogénéité positive de la métrique de Finsler implique que la longueur d'une courbe reste invariante par reparamétrisation croissante. Attention au fait que si la métrique n'est pas réversible le sens de parcours influe sur sa longueur.

Lorsque la métrique est suffisamment lisse le calcul des variations nous permet de faire apparaître une équation d'Euler-Lagrange qui est doit être satisfaite par les géodésiques. C'est le cas pour une métrique de Finsler quadratiquement convexe par exemple.

La longueur de ${\displaystyle \gamma }$ pour la métrique riemannienne ${\displaystyle g^{V_{\gamma }}}$ est égale à sa longueur pour la métrique de Finsler ${\displaystyle F}$. En particulier elle ne dépend pas du champ ${\displaystyle V_{\gamma }}$ [2].

La courbe ${\displaystyle \gamma }$ est aussi une géodésique pour la métrique riemannienne ${\displaystyle g^{V_{\gamma }}}$.

La courbure drapeau d'une variété finslérienne est une fonction dépendant d'un point ${\displaystyle m\in M}$, d'un plan vectoriel ${\displaystyle \sigma \subset T_{m}M}$ et d'un vecteur ${\displaystyle v}$ non nul du plan ${\displaystyle \sigma }$. C'est la courbure sectionnelle ${\displaystyle K_{g}(\sigma )}$ d'une métrique riemannienne de la forme ${\displaystyle g=g^{V_{\gamma }}}$, où ${\displaystyle \gamma }$ est la géodésique partant de ${\displaystyle m}$ à vitesse initiale ${\displaystyle v}$.

• (en) Busemann, Herbert. The synthetic approach to Finsler spaces in the large. Geometry of the calculus of variations (Italian), 1--72, C.I.M.E. Summer Sch., 23, Springer, Heidelberg, 2011.
• (en) Busemann, Herbert, On normal coordinates in Finsler spaces. Math. Ann. 129, (1955). 417--423.
• (en) Busemann, Herbert . On geodesic curvature in two-dimensional Finsler spaces. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 31, (1950). 281--295.
• (en) Busemann, Herbert. The geometry of Finsler spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 56, (1950). 5--16.
• (en) Busemann, Herbert. Metric Methods in Finsler Spaces and in the Foundations of Geometry. Annals of Mathematics Studies, no. 8. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1942. {\rm viii}+243 pp.
• (en) Busemann, Herbert. Metric conditions for symmetric Finsler spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 27, (1941). 533--535.
• (en) Cartan, Elie. Les espaces de Finsler. Hermann, 1934.
• (en) Finsler, Paul. Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen. (German) Verlag Birkhäuser, Basel, 1951. {\rm x}+160 pp.
• (en) Shen, Zhongmin . Differential geometry of spray and Finsler spaces. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001. xiii+258 pp. (ISBN 0-7923-6868-1)
• (en) Shen, Zhongmin . Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing Co., Singapore, 2001. xiv+307 pp. (ISBN 981-02-4531-9)