Utilisation du barycentre en physique

Le barycentre de barus (poids) et centre est initialement le centre des poids. C'est donc une notion physique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours le centre de gravité) est le mathématicien et physicien Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité Sur le centre de gravité de surface plane :

« Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. »

Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m₁ et m₂ différentes.

D'après le théorème du moment dynamique, pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments m₁⋅OA⋅g et m₂⋅OB⋅g soient égaux dans le champ de pesanteur g. Si par exemple la masse m₁ est 4 fois plus importante que la masse m₂, il faudra que la longueur OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit de nos jours par l'égalité vectorielle

${\displaystyle m_{1}\,{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+m_{2}\,{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}={\vec {0}}}$

Il est le premier à avoir cherché des centres de gravité de surfaces comme des demi-disques, des paraboles. Il procède par approximations successives, et a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Son travail est prolongé par celui de Paul Guldin (1635/1640) dans son traité Centrobaryca et celui de Leibniz à qui l'on doit la fonction vectorielle de Leibniz.

La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est une notion dégagée par Christiaan Huygens (1654), lors de l'établissement de sa théorie des chocs : même s'il sait que P = P₀, il n'est pas évident pour lui que G ira à vitesse constante. En particulier au moment de la percussion, où des forces quasi-infinies entrent en jeu, avec éventuellement bris de la cible, G n'en continue pas moins imperturbé dans son mouvement : cela paraît mirifique à Huygens, qui ne connaît pas encore le calcul différentiel. C'est alors qu'il énonce le principe de mécanique :

« Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. »

On peut remarquer le glissement subtil entre barycentre, centre des poids (= centre de gravité) comme le voyait Archimède et barycentre, centre des masses (= centre d'inertie).

Les mathématiques généralisent la construction d'Archimède du point d'équilibre de deux points affectés de deux masses positives progressivement à des ensembles plus complexes. Les coefficients peuvent être négatifs : Le barycentre des points A et B affectés des masses a et b (a + b non nul) est l'unique point G tel que

${\displaystyle a\,{\overrightarrow {\mathrm {GA} }}+b\,{\overrightarrow {\mathrm {GB} }}={\vec {0}}}$.

Les coordonnées de G sont alors

${\displaystyle x_{\mathrm {G} }={\frac {a\,x_{\mathrm {A} }+b\,x_{\mathrm {B} }}{a+b}}\quad y_{\mathrm {G} }={\frac {a\,y_{\mathrm {A} }+b\,y_{\mathrm {B} }}{a+b}}\quad z_{\mathrm {G} }={\frac {a\,z_{\mathrm {A} }+b\,z_{\mathrm {B} }}{a+b}}}$

Le nombre de points peut passer à trois points, quatre points et se généraliser à n points. Si la somme des masses a_i est non nulle, le barycentre du système {(A_i, a_i )}_{i ∈ {1 ; n }} est le point G tel que :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {\mathrm {GA} }}_{i}={\vec {0}}}$.

Les coordonnées sont données par les formules, pour j variant de 1 à la dimension de l'espace :

${\displaystyle x_{j,\mathrm {G} }={\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{j,\mathrm {A} _{i}}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$.

C'est sous cette forme qu'il devient un outil puissant en géométrie affine.

Le nombre de points peut même devenir infini, permettant de trouver le barycentre d'une courbe ou d'une surface.

Si l'ensemble constitue un domaine D continu, à chaque point M du domaine on affecte une densité g(M) où g est une fonction continue (un champ scalaire). Le barycentre est alors le point G tel que

${\displaystyle \int _{\mathrm {D} }g(\mathrm {M} )\,{\overrightarrow {\mathrm {GM} }}~\mathrm {d} V={\vec {0}}}$ dans l'espace ou ${\displaystyle \int _{\mathrm {D} }g(\mathrm {M} )\,{\overrightarrow {\mathrm {GM} }}~\mathrm {d} S={\vec {0}}}$ dans le plan.

Si les points M ont pour coordonnées (x₁, x₂, x₃ ), la fonction de densité s'écrit g(x₁, x₂, x₃ ) et les coordonnées de G s'écrivent

${\displaystyle x_{j,\mathrm {G} }={\frac {\iiint g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot x_{j}~\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\mathrm {d} x_{3}}{\iiint g(x_{1},x_{2},x_{3})~\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\mathrm {d} x_{3}}},\quad j\in \{1,2,3\}}$

Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne pondérée :

${\displaystyle x_{\mathrm {G} }={\frac {\int g(x)\cdot x~\mathrm {d} x}{\int g(x)~\mathrm {d} x}}}$

Animation impliquant 2 corps de faible différence de masse. Le barycentre se trouve à l'extérieur du corps principal comme dans le cas du couple Pluton/Charon.

On parle de barycentre en ce qui concerne le couple formé par un corps stellaire possédant un satellite. Le barycentre est le point autour duquel l'objet secondaire gravite. Si la plupart des couples connus possèdent leur barycentre à l'intérieur de l'objet principal, il existe des exceptions notables :

• le cas du couple Pluton/Charon : la différence de masse entre ces deux corps est relativement faible, le barycentre se trouve donc à l'extérieur de Pluton. Pour certains astronomes, plutôt que de parler de planètes et de satellites, il conviendrait dans ce cas précis de retenir la notion de « planète double » ;
• plusieurs astéroïdes reproduisent le cas de figure ci-dessus ;
• le barycentre du couple Jupiter/Soleil se trouve à l'extérieur du Soleil (environ 38 000 km de sa surface) ;
• on retrouve aussi cette particularité chez certaines étoiles doubles.