Triangle de Pascal (2,1)

Le terme d'indice k de la ligne n, noté ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{(2,1)}}$ est défini par les relations de récurrence :

${\displaystyle {n \choose k}_{(2,1)}={n-1 \choose k-1}_{(2,1)}+{n-1 \choose k}_{(2,1)}}$

pour tous entiers n et k tels que 0 < k < n, avec les initialisations :

${\displaystyle {\binom {n}{n}}_{(2,1)}=1}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 0}$, ${\displaystyle {\binom {n}{0}}_{(2,1)}=2}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ; ce qui donne :

${\displaystyle _{n}\!\!\diagdown \!\!^{k}}$	0	1	2	3	4	5	6	7
0	1
1	2	1
2	2	3	1
3	2	5	4	1
4	2	7	9	5	1
5	2	9	16	14	6	1
6	2	11	25	30	20	7	1
7	2	13	36	55	50	27	8	1

On montre par récurrence que ${\displaystyle (2X+Y)(X+Y)^{n-1}}$ se développe pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$ en ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}_{(2,1)}X^{n-k}Y^{k}}$.

En écrivant ${\displaystyle (X+2Y)(X+Y)^{n-1}=(X+Y)^{n}+X(X+Y)^{n-1}}$, on obtient que ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{(2,1)}}$est lié pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$ aux coefficients binomiaux par les formules : ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{(2,1)}={\binom {n}{k}}+{\binom {n-1}{k}}={\frac {2n-k}{n}}{\binom {n}{k}}}$.

Par exemple, le coefficient central est ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}_{(2,1)}={\frac {3}{2}}{\binom {2n}{n}}}$.

Chaque case indique le nombre de chemins distincts pour que la tour atteigne cette case, en supposant que seuls les mouvements vers la droite et vers le bas sont autorisés. On retrouve le triangle de Pascal (2,1) disposé différemment.

De même que les termes du triangle de Pascal dénombrent le nombre de chemins dans un réseau binaire, les termes du triangle de Pascal (2,1) dénombrent les chemins dans un réseau où un nœud a été rajouté (voir ci-contre).

• Chaque ligne est la somme de la ligne correspondante du triangle de Pascal classique et de la ligne précédente de ce triangle.
• La somme des termes de la ligne ${\displaystyle n\geqslant 1}$ est donc égale à ${\displaystyle 2^{n}+2^{n-1}=3\times 2^{n-1}}$ (suite A003945 de l'OEIS).
• A partir de la ligne 2, la somme alternée d'une ligne est nulle, par exemple :
  • ligne 3 : 2 − 3 + 1 = 0
  • ligne 4 : 2 − 5 + 4 − 1 = 0
  • ligne 5: 2 − 7 + 9 − 5 + 1 = 0
• Si on regarde une ligne comme la succession des chiffres décimaux d'un entier, cette ligne est "égale" à une puissance de 11 multipliée par 21 (${\displaystyle 21\times 11^{n-1}}$, pour la ligne n). Ainsi, la ligne 4 : (2, 7, 9, 5, 1) devient ${\displaystyle 27951=21\times 11^{3}}$, et la ligne 5 (2, 9, 16, 14, 6, 1) devient (après réarrangement) ${\displaystyle 307461=21\times 11^{4}}$. Cette propriété s'explique en faisant x = 10 dans le développement de (2x + 1)(x + 1)ⁿ⁻¹. Mais x peut aussi être une base quelconque. par exemple :
  • en base 3 : ${\displaystyle 231_{3}=7\times 4(28)}$
    • ${\displaystyle (2,5,4,1)\rightarrow 11011_{3}=7\times 4^{2}(112)}$
  • en base 9 : ${\displaystyle 231_{9}=19\times 10(190)}$
    • , ${\displaystyle 2541_{9}=19\times 10^{2}(1900)}$
    • ${\displaystyle (2,9,16,14,6,1)\rightarrow 318561_{9}=19\times 10^{4}(190000)}$

Chaque terme du triangle de Pascal (2,1) est la somme des termes de la colonne précédente, jusqu'au terme de la ligne précédente ; par exemple, 9 dans la ligne 4 est égal à 1 + 3 + 5. Par conséquent :

• la colonne k = 1 contient les nombres impairs dans l'ordre : ${\displaystyle {\binom {n}{1}}_{(2,1)}=2n-1}$
• la colonne k = 2 contient les sommes des précédents, soit les carrés : ${\displaystyle {\binom {n}{2}}_{(2,1)}=(n-1)^{2}}$
• la colonne k = 3 contient les sommes des précédents, soit les nombres pyramidaux carrés : ${\displaystyle {\binom {n}{3}}_{(2,1)}=P_{n-2}^{(4)}={\frac {(n-1)(n-2)(2n-3)}{6}}}$
• la colonne k = 4 contient les sommes des précédents, soit les nombres hyperpyramidaux carrés, suite A002415 de l'OEIS : ${\displaystyle {\binom {n}{4}}_{(2,1)}={\frac {(n-3)(n-2)^{2}(n-1)}{12}}}$.

Chaque terme du triangle de Pascal (2,1) est la somme des termes de la diagonale descendante située au dessus, jusqu'au terme situé au dessus (en ajoutant un 1 au départ de la diagonale principale) ; par exemple, 9 dans la ligne 4 est égal à 2 + 3 + 4. Par conséquent :

• la diagonale ${\displaystyle k=n-1}$ contient les entiers naturels dans l'ordre à partir de 2 : ${\displaystyle {\binom {n}{n-1}}_{(2,1)}=n+1}$
• la diagonale ${\displaystyle k=n-2}$ contient les nombres triangulaires moins 1 : ${\displaystyle {\binom {n}{n-2}}_{(2,1)}={\frac {n(n+1)}{2}}-1}$
• la diagonale ${\displaystyle k=n-3}$ donne la suite A005581 de l'OEIS décalée : ${\displaystyle {\binom {n}{n-3}}_{(2,1)}={\frac {(n-1)(n-2)(n+3)}{6}}}$

Comme pour le triangle de Pascal classique, les sommes des termes d'une diagonale montante sont somme des sommes des deux diagonales précédentes. Cette propriété fait que tant pour le triangle de Pascal classique que pour le triangle de Pascal (2,1), les sommes des diagonales montantes forment la suite de Fibonacci avec un certain décalage. Voir les diagonales colorées ci-dessous.

1	s = 2	s = 3
2	1	s = 5	s = 8
2	3	1	s= 13	s = 21
2	5	4	1	s = 34	s = 55
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30		7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

On trouve aussi la suite de Fibonacci généralisée commençant par 2 et 1, ou suite de Lucas, dans le triangle de Pascal (2,1) (d'où son appellation de triangle de Lucas) : additionner les cases de même couleur des diagonales semi-descendantes ci dessous [2].