Triangle de Nagel

Les distances des points de contact aux sommets sont indiquées sur la figure, avec ${\displaystyle a,b,c}$ les longueurs des côtés et ${\displaystyle p}$ le demi-périmètre [1].

Les coordonnées barycentriques du sommet ${\displaystyle T_{A}}$ sur le côté ${\displaystyle [BC]}$ sont donc ${\displaystyle (0:p-b:p-c)}$. On obtient les autres par permutations.

Les céviennes joignant les sommets du triangle aux points de contact des cercles exinscrits avec les côtés concourent au point de Nagel ${\displaystyle N}$[1].

De plus, elles séparent le périmètre du triangle en deux parties de même longueur égale à ${\displaystyle p}$, d'où leur nom de séparatrices (splitter en anglais)[1].

L'ellipse tangente aux côtés du triangle aux trois sommets du triangle de Nagel est appelée ellipse de Mandart.

L'aire du triangle de Nagel est :

${\displaystyle S_{N}=S{\frac {2r^{2}p}{abc}}}$

où S et r sont respectivement l'aire et le rayon du cercle inscrit.

Elle est égale à l'aire du triangle de Gergonne, qui, lui, a pour sommets les points de contact du cercle inscrit [2].