Transformation de Hankel

En mathématiques, la transformation de Hankel, ou transformation de Fourier-Bessel, exprime une fonction donnée $f (r)$ comme l'intégrale pondérée de fonctions de Bessel du premier type $J ν (kr)$ . Les fonctions de Bessel dans la somme sont toutes du même ordre ν, mais diffèrent par un facteur k sur l'axe radial. Le coefficient nécessaire $F ν$ de chaque fonction de Bessel dans la somme, vu comme une fonction du facteur d'échelle k, constitue la transformée.

Cette transformation peut être vue pour l'ordre $\nu =0$ comme la transformation de Fourier d'une fonction $f(r,\theta )=f(r)$ définie sur un espace de dimension 2, muni d'un système de coordonnées circulaires $(r,\theta )$ indépendante de l'angle $\theta$ et ne dépendant donc que de la coordonnée radiale $r$ . Elle est donc tout particulièrement utilisée pour résoudre les équations linéaires de fonctions à deux dimensions à symétrie radiale.

Définition

La transformation de Hankel d'ordre $ν$ d'une fonction $f (r)$ est donnée par :

F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\operatorname {d} \!r

où $J ν$ est la fonction de Bessel du premier type d'ordre ν, avec $ν \geq - 1 ⁄ 2 .$ La transformation de Hankel inverse de $F ν (k)$ est définie par :

f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\operatorname {d} \!k.

L'équivalence peut être obtenue par l'utilisation de l'orthogonalité des fonctions de Bessel.

Domaine de définition

La transformation de Hankel d'une fonction $f (r)$ est valide en tout point où $f (r)$ est continu, supposant que la fonction est définie sur (0, ∞), qu'elle y est continue par morceaux et de variation bornée sur tout sous-intervalle de (0, ∞), et qu'elle vérifie

\int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\operatorname {d} \!r<\infty .

Cependant, comme la transformation de Fourier, le domaine peut être étendu par un argument de densité pour inclure des fonctions pour lesquelles l'intégrale précédente n'est pas définie, par exemple $f(r)=(1+r)^{-3/2}$ .

Orthogonalité

Les fonctions de Bessel forment une base orthogonale pour le produit scalaire suivant :

\int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\operatorname {d} \!r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\qquad k,k'>0.

Application des théorèmes de Parseval et Plancherel

Soient f(r) et g(r) deux fonctions de transformées de Hankel respectives $F ν (k)$ et $G ν (k)$ . Si celles-ci sont bien définies, alors le théorème de Plancherel donne

\int _{0}^{\infty }f(r)g(r)r\operatorname {d} \!r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)k\operatorname {d} \!k.

En particulier, le théorème de Parseval donne :

\int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}r\operatorname {d} \!r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}k\operatorname {d} \!k,

Ces deux résultats se déduisent simplement de la propriété d'orthogonalité.

Relation avec les autres transformations intégrales

Avec la transformation de Fourier

La transformation de Hankel d'ordre 0 est essentiellement la transformation de Fourier sur un espace de dimension 2 d'une fonction ayant une symétrie circulaire.

En effet, considérons une fonction $f (r)$ du vecteur radial $r$ sur un espace de dimension 2. Sa transformée de Fourier est alors :

F(\mathbf {k} )=\iint f(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\operatorname {d} \!\mathbf {r} .

Sans perte de généralité, on munit l'espace d'un système de coordonnées polaires $(r, θ)$ tel que le vecteur $k$ soit sur l'axe $θ = 0$ . La transformée de Fourier se réécrit alors:

F(\mathbf {k} )=\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{ikr\cos(\theta )}\,r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!r

où θ désigne l'angle entre les vecteurs $k$ et $r$ . Si la fonction $f$ présente une symétrie circulaire, elle est indépendante de la variable θ et peut se réécrire $f (r)$ . L'intégration sur θ se simplifie et il reste :

F(\mathbf {k} )=F(k)=2\pi \int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)r\operatorname {d} \!r

ce qui correspond à $2 π$ fois la transformée de Hankel d'ordre 0 de $f (r)$ . Quant à la transformation inverse,

f(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint F(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\operatorname {d} \!\mathbf {k} ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }F(k)J_{0}(kr)k\operatorname {d} \!k

donc $f (r)$ est la transformée de Hankel inverse d'ordre 0 de $1 ⁄ 2 π F (k)$ .

On peut généraliser au cas où $f$ est développée en série multipolaire,

f(r,\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta },

et si $θ k$ est l'angle entre la direction de $k$ et l'axe $θ = 0$ , alors

{\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=\int _{0}^{\infty }r\operatorname {d} \!r\,\int _{0}^{2\pi }\operatorname {d} \!\theta \,f(r,\theta )e^{ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{m}\int _{0}^{\infty }r\operatorname {d} \!r\,\int _{0}^{2\pi }\operatorname {d} \!\theta \,f_{m}(r)e^{im\theta }e^{ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\operatorname {d} \!r\,f_{m}(r)\int _{0}^{2\pi }\operatorname {d} \!\varphi \,e^{im\varphi }e^{ikr\cos \varphi }&&\varphi =\theta -\theta _{k}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\operatorname {d} \!r\,f_{m}(r)2\pi i^{m}J_{m}(kr)\\&={\sqrt {2\pi }}\sum _{m}i^{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)r\operatorname {d} \!r.\\&={\sqrt {2\pi }}\sum _{m}i^{m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\operatorname {d} \!r&&(*)\\&={\sqrt {2\pi }}\sum _{m}i^{m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)x\operatorname {d} \!x&&x={\tfrac {r}{R}}\\&={\sqrt {2\pi }}\sum _{m}i^{m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR).\end{aligned}}

Le terme $(*)$ vient du fait que si $f m$ est assez lisse près de l'origine et nulle en dehors d'une boule de rayon R, elle peut être développée en série de Tchebychev,

f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{mt}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\qquad 0\leq r\leq R.

L'aspect important du point de vue numérique est que les coefficients du développement $f mt$ peuvent être obtenus par des techniques similaires à une transformation de Fourier discrète.

Avec les transformations de Fourier et Abel

La transformée de Hankel est un membre du cycle Abel-Fourier-Hankel d'opérateurs intégraux. En deux dimensions, si on note A l'opérateur de la transformation d'Abel, F comme l'opérateur de la transformation de Fourier et H l'opérateur de la transformation de Hankel d'ordre 0, alors le théorème de la tranche centrale (en) appliquées aux fonctions ayant une symétrie circulaire donne :

FA=H.

Ainsi, la transformation de Hankel d'ordre 0 d'une fonction revient à une transformation d'Abel d'une fonction 1D puis à une transformation de Fourier.

Quelques transformées de Hankel

On se réfère à l'ouvrage de Papoulis[1].

$f(r)\,$	$F_{0}(k)\,$
$1\,$	${\tfrac {\delta (k)}{k}}$
${\tfrac {1}{r}}$	${\tfrac {1}{k}}$
$r\,$	$-{\tfrac {1}{k^{3}}}$
$r^{3}\,$	${\tfrac {9}{k^{5}}}$
$r^{m}\,$	${\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\qquad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}$
${\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\,$	${\frac {e^{-k\|z\|}}{k}}={\sqrt {\frac {2\|z\|}{\pi k}}}K_{-{\tfrac {1}{2}}}(k\|z\|)\,$
${\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}$	$K_{0}(kz)\qquad z\in \mathbf {C}$
${\tfrac {e^{iar}}{r}}$	${\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}}\qquad a>0,k<a.$
$e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}$	${\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}$
$-r^{2}f(r)\,$	${\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{0}}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{0}}{\operatorname {d} \!k}}$
$f(r)\,$	$F_{\nu }(k)\,$
$r^{s}\,$	${\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}$
$r^{\nu -2s}\Gamma \left(s,r^{2}h\right)\,$	${\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)\,$
$e^{-r^{2}}r^{\nu }U\left(a,b,r^{2}\right)\,$	${\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)$
$-r^{2}f(r)\,$	${\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{\nu }}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{\nu }}{\operatorname {d} \!k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }$

$K n (z)$ est la fonction de Bessel modifiée du second type. L'expression

{\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{0}}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{0}}{\operatorname {d} \!k}}

correspond à l'opérateur de Laplace en coordonnées polaires $(k, θ)$ appliquée à une fonction ayant une symétrie sphérique $F 0 (k)$ .

Les transformées de Hankel des polynômes de Zernike sont des fonctions de Bessel (Noll 1976):

R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\operatorname {d} \!k

pour tous $n - m \geq 0$ .

Voir aussi

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hankel transform » (voir la liste des auteurs).

(en) Athanasios Papoulis, Systems and Transforms with Applications to Optics, Florida USA, Krieger Publishing Company, 1981, 140–175 p. (ISBN 0-89874-358-3)

Bibliographie

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(en) A. D. Polyanin et A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, Boca Raton, CRC Press, 1998 (ISBN 0-8493-2876-4)
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