Transformation d'Aluthge

Soient ${\displaystyle T\in B(H)}$, ${\displaystyle T^{*}}$ son opérateur adjoint et ${\displaystyle |T|}$ la racine carrée de l'opérateur ${\displaystyle T^{*}T}$. Il existe une unique isométrie partielle ${\displaystyle U}$ telle que ${\displaystyle T=U|T|}$ et ${\displaystyle \ker(U)\supset \ker(T)}$.

Soient ${\displaystyle T\in B(H)}$ et ${\displaystyle T=U|T|}$ sa décomposition polaire. La transformation d'Aluthge de ${\displaystyle T}$ est l'opérateur ${\displaystyle \Delta (T)}$ défini par :

${\displaystyle \Delta (T)=|T|^{\frac {1}{2}}U|T|^{\frac {1}{2}}}$.

Plus généralement, pour tout nombre réel ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$, on appelle ${\displaystyle \lambda }$-transformation d'Aluthge de ${\displaystyle T}$ l'opérateur ${\displaystyle \Delta _{\lambda }(T):=|T|^{\lambda }U|T|^{1-\lambda }\in B(H)}$.

Pour deux vecteurs ${\displaystyle x,y\in H}$, on note ${\displaystyle x\otimes y}$ l'opérateur défini par : ${\displaystyle \forall z\in H\quad x\otimes y(z)=\langle z,y\rangle x}$. Un calcul élémentaire[1] montre que si ${\displaystyle y\neq 0}$ alors ${\displaystyle \Delta _{\lambda }(x\otimes y)=\Delta (x\otimes y)={\frac {\langle x,y\rangle }{\lVert y\rVert ^{2}}}y\otimes y}$.

(en) « Ariyadasa Aluthge », sur le site du Mathematics Genealogy Project