Transformée de Stieltjes
En mathĂ©matiques, la transformĂ©e de Stieltjes d'une mesure Ă densitĂ© Ï sur un intervalle I est une fonction de la variable complexe z, dĂ©finie Ă l'extĂ©rieur de cet intervalle par la formule :
Sous certaines conditions on peut reconstituer la densitĂ© d'origine Ă partir de sa transformĂ©e grĂące Ă la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. Par exemple, si la densitĂ© Ï est continue sur I, on aura Ă l'intĂ©rieur de cet intervalle :
Relations avec les moments de la mesure
Si la mesure de densitĂ© Ï a des moments de tout ordre dĂ©finis pour chaque entier naturel n par l'Ă©galitĂ© :
alors la transformĂ©e de Stieltjes de Ï admet pour tout entier le dĂ©veloppement asymptotique au voisinage de l'infini :
Sous certaines conditions on obtient le développement en série de Laurent :
Relations avec les polynĂŽmes orthogonaux
La correspondance définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur I.
On note (Pn) la suite de polynÎmes, orthonormale pour ce produit scalaire, avec Pn de degré n pour tout entier, qui vérifie une relation de récurrence à trois termes successifs : on peut en déduire facilement un développement en fraction continue généralisée de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions Fn(z)[1] - [2]:
On associe à la suite des polynÎmes secondaires définis par la relation :
On montre alors que la fraction rationnelle est un approximant de PadĂ© de SÏ(z) au voisinage de l'infini, au sens oĂč
La transformĂ©e de Stieltjes se rĂ©vĂšle Ă©galement un outil prĂ©cieux pour construire Ă partir de Ï une mesure effective rendant les polynĂŽmes secondaires orthogonaux.
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de lâarticle de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Stieltjes transformation » (voir la liste des auteurs).
- (en) Hubert Stanley Wall (en), Analytic Theory of Continued Fractions, Van Nostrand,
- (en) D. V. Widder, « The Stieltjes transform », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 43,â , p. 7-60 (lire en ligne)
- (en) Irene Gargantini et Peter Henrici, « A continued fraction algorithm for the computation of higher transcendental functions in the complex plane », Math. Comp., vol. 21,â , p. 18-29 (lire en ligne)
- (en) P. Flajolet, « Combinatorial aspects of continued fractions », Discrete Mathematics, vol. 2, no 32,â , p. 125â161.
- X. Viennot, « Une thĂ©orie combinatoire des polynĂŽmes orthogonaux », Lecture Notes UQAM, UniversitĂ© du QuĂ©bec, MontrĂ©al, Publications du LACIM,â .