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Transformée de Stieltjes

En mathĂ©matiques, la transformĂ©e de Stieltjes d'une mesure Ă  densitĂ© ρ sur un intervalle I est une fonction de la variable complexe z, dĂ©finie Ă  l'extĂ©rieur de cet intervalle par la formule :

Sous certaines conditions on peut reconstituer la densitĂ© d'origine Ă  partir de sa transformĂ©e grĂące Ă  la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. Par exemple, si la densitĂ© ρ est continue sur I, on aura Ă  l'intĂ©rieur de cet intervalle :

Relations avec les moments de la mesure

Si la mesure de densitĂ© ρ a des moments de tout ordre dĂ©finis pour chaque entier naturel n par l'Ă©galitĂ© :

alors la transformĂ©e de Stieltjes de ρ admet pour tout entier le dĂ©veloppement asymptotique au voisinage de l'infini :

Sous certaines conditions on obtient le développement en série de Laurent :

Relations avec les polynĂŽmes orthogonaux

La correspondance définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur I.

On note (Pn) la suite de polynÎmes, orthonormale pour ce produit scalaire, avec Pn de degré n pour tout entier, qui vérifie une relation de récurrence à trois termes successifs : on peut en déduire facilement un développement en fraction continue généralisée de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions Fn(z)[1] - [2]:

On associe à la suite des polynÎmes secondaires définis par la relation :

On montre alors que la fraction rationnelle est un approximant de PadĂ© de Sρ(z) au voisinage de l'infini, au sens oĂč

La transformĂ©e de Stieltjes se rĂ©vĂšle Ă©galement un outil prĂ©cieux pour construire Ă  partir de ρ une mesure effective rendant les polynĂŽmes secondaires orthogonaux.

Références

  1. (en) P. Flajolet, « Combinatorial aspects of continued fractions », Discrete Mathematics, vol. 2, no 32,‎ , p. 125–161.
  2. X. Viennot, « Une thĂ©orie combinatoire des polynĂŽmes orthogonaux », Lecture Notes UQAM, UniversitĂ© du QuĂ©bec, MontrĂ©al, Publications du LACIM,‎ .
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