Torsion d'une courbe

Soit C une courbe de l'espace orienté birégulière (les deux dérivées premières sont indépendantes) de classe supérieure ou égale à 3, paramétrisée par la longueur de l'arc : ${\displaystyle r:I\to {\mathcal {E}}_{3},\,s\mapsto M=r(s)}$ La dérivée de r donne le vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {t}}(s)}$ tangent à la courbe et la dérivée seconde de r est alors un vecteur orthogonal au vecteur tangent dont la norme donne la courbure ${\displaystyle \kappa (s)}$. Le vecteur normal à la courbe ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$ et le vecteur binormal ${\displaystyle {\vec {b}}(s)}$ sont donnés par : ${\displaystyle {\vec {n}}(s)={\frac {1}{\kappa }}r''(s)}$ et ${\displaystyle {\vec {b}}(s)={\vec {t}}(s)\land {\vec {n}}(s)}$ où ${\displaystyle \land }$ est le produit vectoriel. Ce vecteur ${\displaystyle {\vec {b}}}$ est un vecteur normal au plan osculateur.

La dérivée du vecteur ${\displaystyle {\vec {b}}}$ est alors un vecteur colinéaire à ${\displaystyle {\vec {n}}}$ et il existe une fonction ${\displaystyle \tau }$ appelée torsion telle que ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {b}}(s)}{\mathrm {d} s}}=-\tau (s){\vec {n}}}$

rem: on trouve parfois la définition de la torsion avec un signe opposé[1].

Si la torsion est non nulle, on appelle rayon de torsion l'inverse de la torsion.

Si la torsion de la fonction est constamment nulle, la courbe est une courbe plane.

Il est possible de calculer la torsion pour tout paramétrage (normal ou admissible) . Si la courbe birégulière de classe supérieure ou égale à 3 est définie par ${\displaystyle f:I\to {\mathcal {E}}_{3},\,t\mapsto M=f(t)}$ alors ${\displaystyle \tau (t)={\frac {\mathrm {Det} (f'(t),f''(t),f'''(t))}{\|f'(t)\land f''(t)\|^{2}}}}$ et si ${\displaystyle f=(x,y,z)}$ alors ${\displaystyle \tau ={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+(x'y''-x''y')^{2}}}.}$

Courbe gauche (en noir) et ses projetés sur le plan osculateur (brun), plan normal (bleu) et plan rectifiant (vert) pour une torsion positive au voisinage de M₀ : sur le plan osculateur, la courbe se comporte presque comme une fonction du second degré, sur le plan normal M₀ est un point de rebroussement et sur le plan rectifiant on observe un point d'inflexion. La courbe traverse le plan osculateur en M₀.

Au point M₀, correspondant à la valeur s₀ du paramètre, on note ${\displaystyle \kappa _{0}}$ la courbure de la courbe en ce point et ${\displaystyle \tau _{0}}$ sa torsion. On se place dans le repère de Frenet ${\displaystyle (M_{0},{\vec {t}}_{0},{\vec {n}}_{0},{\vec {b}}_{0})}$ pour étudier la courbe. Les coordonnées ${\displaystyle (x,y,z)}$ d'un point de la courbe dans ce repère vérifient les égalités suivantes[2] : ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\kappa _{0}x^{2}+o(x^{2})}$ ${\displaystyle z={\frac {1}{6}}\kappa _{0}\tau _{0}x^{3}+o(x^{3})}$

où ${\displaystyle o(x^{2})}$ et ${\displaystyle o(x^{3})}$ sont négligeables devant ${\displaystyle x^{2}}$ et ${\displaystyle x^{3}}$.

La seconde égalité indique comment la courbe tend à s'échapper de son plan osculateur, c'est-à-dire du plan ${\displaystyle (M_{0},{\vec {t}}_{0},{\vec {n}}_{0})}$, et le rôle de la torsion dans ce phénomène.

Si la torsion est positive, la courbe est dextre[3] - [4] et se comporte localement comme l'hélice d'un tire-bouchon. Si la torsion est négative, la courbe est dite senestre.

• Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques : Tome 3:Géométrie et cinématique, Bordas, coll. « Dunod », 1977 (ISBN 978-2-04-003080-3), p. 347-361

• Chiralité axiale