Tore de Clifford

Le cercle unité S¹ dans R² peut être paramétré par ${\displaystyle S^{1}=\{(\cos \theta ,\sin \theta )\mid 0\leq \theta <2\pi \}}$. Une autre copie étant paramétrée par un angle indépendant ${\displaystyle S^{1}=\{(\cos \varphi ,\sin \varphi )\mid 0\leq \varphi <2\pi \}}$, on définit le tore de Clifford comme le produit cartésien ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\;\right|\;0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}}$, où le facteur ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ assure que tous les points sont dans la 3-sphère unité S³.

Dans le plan complexe C, le cercle unité peut se représenter par ${\displaystyle S^{1}=\{e^{i\theta }\mid 0\leq \theta <2\pi \}}$; le tore de Clifford s'identifie donc au sous-ensemble de C² ${\displaystyle \{{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(e^{i\theta },e^{i\varphi })\,|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \}}$; autrement dit, ce sont les points de C² dont les coordonnées (z₁, z₂) vérifient${\displaystyle \left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}=1/2}$.

Le tore de Clifford peut également se paramétrer à l'aide des coordonnées de Hopf : tout point de la 3-sphère s'écrit ${\displaystyle (\cos \lambda \cos \theta ,\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \cos \varphi ,\sin \lambda \sin \varphi )}$, le tore correspond à ${\displaystyle \lambda =\pi /4}$ et il partage la 3-sphère en deux régions isomorphes au tore plein : ${\displaystyle \pi /4<\lambda <5\pi /4}$ et ${\displaystyle \pi /4<\lambda <5\pi /4}$, et transformées l'une en l'autre par la symétrie centrale ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda +\pi }$.

Le calcul des dérivées partielles de ces paramétrages et l'équation d'Euler-Lagrange permettent de montrer que le tore de Clifford est une surface minimale de S³.

Plus généralement, avec la représentation paramétrique précédente, les points de la 3-sphère ayant pour coordonnées ${\displaystyle (\cos \lambda \cos \theta ,\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \cos \varphi ,\sin \lambda \sin \varphi )}$, avec ${\displaystyle \lambda }$ fixé différent de ${\displaystyle k\pi /2}$, forment encore un tore appelé souvent également tore de Clifford (mais ce n'est plus une surface minimale en général).