Topologie étale

Soit ${\displaystyle X}$ un schéma, on appelle topologie étale la catégorie ${\displaystyle {\text{Ét}}(X)}$ dont :

• les objets sont des morphismes étales (en) d'un schéma ${\displaystyle U}$ dans ${\displaystyle X}$ ;
• les morphismes sont les morphismes de ${\displaystyle X}$-schémas.

Il ne s'agit pas d'une petite catégorie : ses objets ne forment pas un ensemble. L'intersection de deux objets correspond à leur produit fibré. Pour les recouvrements, on considère les familles finies

${\displaystyle \left\{f_{i}:U_{i}\to U\,\left|\,U=\bigcup _{i}f_{i}(U_{i})\right.\right\}}$

Les anneaux locaux des points géométriques de la topologie étale sont exactement les anneaux henséliens.

• Cohomologie étale
• Théorie des schémas
• Topologie de Nisnevich

• Alexander Grothendieck et Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique IV, parties 1 et 4 (1964-1967)
• Michael Artin, Alexander Grothendieck et Jean-Louis Verdier. SGA 4, volumes 2 et 3 (1972)
• Pierre Deligne, SGA 4½ (1977)