Topos étale

Soit X un schéma. Une couverture étale de X est une famille ${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to X\}_{i\in I}}$, où chaque ${\displaystyle \varphi _{i}}$ est un morphisme étale de schémas, de telle sorte que la famille soit conjointement surjective ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}(U_{i})}$ .

La catégorie Ét(X) est la catégorie de tous les régimes étale sur X. La collection de tous les recouvrements étales d'un schéma étale U sur X, c'est-à-dire un objet dans Ét(X) définit une prétopologie de Grothendieck sur Ét(X) qui induit à son tour une topologie de Grothendieck, la topologie étale sur X. La catégorie associée à la topologie étale s’appelle le site étale sur X.

Le topos étale ${\displaystyle X^{\text{ét}}}$ d'un schéma X est alors la catégorie de toutes les faisceaux d'ensembles sur le site Ét(X). Ces faisceaux s'appellent des faisceaux étales sur X. En d'autres termes, un faisceau étale ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est un foncteur (contravariant) de la catégorie Ét(X) sur la catégorie des ensembles satisfaisant l’axiome de faisceau suivant:

Pour chaque étale U sur X et chaque étale couvrant ${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to U\}}$ de U, la séquence :

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}(U)\to \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j\in I}{\mathcal {F}}(U_{ij})}$

où ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{U}U_{j}}$, est exacte.

• Topologie étale