Théorie de Landau

Dans la phase de haute symétrie, d'après les postulats de la thermodynamique, il est possible de caractériser complètement le système par la donnée d'un petit nombre de variables d'état (disons pour fixer les idées la pression et la température). A la transition, il y a perte de certaines propriétés de symétrie. La donnée de la pression et de la température ne suffit plus à caractériser l'état du système. On a donc besoin dans cette phase d'une variable supplémentaire : c'est le paramètre d'ordre. Ce paramètre introduit un terme supplémentaire à l'énergie totale, de sorte que la phase de haute symétrie n'est plus thermodynamiquement stable.

Le paramètre d'ordre apporte sa contribution à l'énergie totale du système. C'est cette contribution supplémentaire qui déséquilibre la phase de haute symétrie. La théorie de Landau ne s'intéresse donc pas au potentiel thermodynamique total mais uniquement à cette contribution supplémentaire. L'hypothèse centrale de la théorie de Landau est de l'écrire sous forme d'une série, appelée développement de Landau, au voisinage de la transition. En notant ${\displaystyle Q}$ le paramètre d'ordre, on peut l'écrire en toute généralité :

${\displaystyle L(Q)=A_{1}\,Q+{\frac {A_{2}}{2}}\,Q^{2}+{\frac {A_{3}}{3}}\,Q^{3}+\ldots }$

La théorie des groupes permet, à partir des symétries des phases avant et après la transition, de montrer que certains coefficients de ce développement sont nécessairement nuls. Le nombre de termes à inclure dans le développement dépend du problème considéré.

Par exemple, pour le modèle d'Ising, le paramètre d'ordre est le spin moyen. En l'absence de champ extérieur, l'énergie du système ne change pas sous l'effet d'une inversion. Elle ne peut donc dépendre que des termes pairs du paramètre d'ordre soit :

${\displaystyle L(Q)={\frac {A_{2}}{2}}\,Q^{2}+{\frac {A_{4}}{4}}\,Q^{4}+\dots }$

Pour les cristaux liquides, le paramètre d'ordre ne peut être un vecteur (les molécules ont un centre du symétrie, donc n'ont pas de différences haut-bas). Il faut un tenseur Q de trace nulle, construit à partir de la direction d'orientation des molécules. L'énergie est indépendant par toute rotation, et dépend de la trace des puissances de Q (le terme linéaire est donc nul par construction). Finalement :

${\displaystyle L(Q)={\frac {A_{2}}{2}}\,Q^{2}+{\frac {A_{3}}{3}}\,Q^{3}+{\frac {A_{4}}{4}}\,Q^{4}}$

Les valeurs des coefficients non nuls peuvent être affinées à partir de données expérimentales au voisinage de la transition.

Comme pour un potentiel thermodynamique, la valeur à l'équilibre du paramètre d'ordre est donnée par

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial Q}}=0}$

et la condition de l'équilibre stable correspond à une dérivée seconde positive.

En thermodynamique de manière générale, les propriétés (élastiques, diélectriques etc.) d'un système sont données par les dérivées secondes du potentiel thermodynamique. Dans la théorie de Landau, la susceptibilité, habituellement notée ${\displaystyle \chi }$, élargit cette notion aux propriétés régies par le paramètre d'ordre. Elle est définie par

${\displaystyle {\frac {1}{\chi }}={\frac {\partial ^{2}G}{\partial Q^{2}}}}$

et intervient dans l'étude des propriétés du système au voisinage de la transition.

• (en) J. C. Tolédano and P. Tolédano, The Landau theory of phase transitions : application to structural, incommensurate, magnetic and liquid crystal systems, Singapore/New Jersey/Hong Kong, World Scientific, 1987, 451 p. (ISBN 9971-5-0025-6)
• P. Tolédano and V. Dmitriev, Reconstructive phase transitions in crystals and quasicrystals, World Scientific, 1996 (ISBN 981-02-2364-1)
• E.K.H. Salje, Phase Transitions in Ferroelastic and Co-elastic Crystals, Cambridge University Press, 1993
• V.K. Wadhawan, Introduction to ferroic materials, Gordon and Breach Science Publishers, 2000

• Paramètre d'ordre
• Transition de phase

• Notes de cours sur la théorie de Landau.
• A Landau primer for ferroelectrics, article d'introduction à la théorie de Landau appliquée aux transitions de phases ferroélectriques.