Théorie de Ginzburg-Landau

Avec ce paramètre d'ordre, Landau et Ginzburg ont construit une énergie libre variationnelle possédant la symétrie de la phase de haute température. Cette énergie variationnelle s'écrit :

${\displaystyle F_{var}=\int d{\mathbf {r} }\left[{\frac {1}{2m^{*}}}\mid ({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e^{*}\mathbf {A} )\psi \mid ^{2}+{\frac {a(T-T_{c})}{2}}\mid \psi \mid ^{2}+{\frac {b}{4}}\mid \psi \mid ^{4}+{\frac {(\nabla \times \mathbf {A} )^{2}}{2\mu }}\right]}$

Suivant les principes de la théorie de Landau des transitions de phase de second ordre, cette énergie variationnelle doit être minimisée par rapport aux paramètres variationnels ${\displaystyle \psi }$ et ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

La première équation de minimisation permet d'obtenir la densité superfluide :

${\displaystyle \rho _{s}=\mid \psi \mid ^{2}}$.

La seconde équation redonne l'équation de Maxwell-Ampère avec la définition suivante pour le courant:

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {e^{*}\hbar }{2im^{*}}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})-{\frac {\rho _{s}(e^{*})^{2}}{m^{*}}}\mathbf {A} }$

On voit que pour un paramètre d'ordre uniforme, on retrouve l'équation de London et donc l'effet Meissner (expulsion du champ magnétique par le supraconducteur).

En l'absence de champ magnétique, la première équation de minimisation s'écrit dans le cas d'un paramètre d'ordre non uniforme :

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}\nabla ^{2}\psi +a(T-T_{c})\psi +b|\psi |^{2}\psi =0}$

Pour un état uniforme ${\displaystyle \nabla \psi =0}$, on trouve :

${\displaystyle |\psi |_{\infty }={\sqrt {\frac {a(T_{c}-T)}{b}}}}$

On peut chercher une solution non uniforme de l'équation de Landau Ginzburg, ne dépendant que d'une coordonnée ${\displaystyle x}$ et telle que ${\displaystyle \psi (0)=0}$ et ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\psi (x)=|\psi |_{\infty }}$. Cette solution s'écrit sous la forme :

${\displaystyle \psi (x)=|\psi |_{\infty }f(x/\xi )}$, où ${\displaystyle \xi }$

est la longueur de cohérence, et :

${\displaystyle f''-f+f^{3}=0}$

On trouve que la longueur de cohérence varie comme

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}a(T-T_{c})}}}}$

L'équation de London s'écrit :

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\mu _{0}{\frac {(e^{*})^{2}\rho _{s}}{m^{*}}}\mathbf {A} }$

On introduit la longueur de pénétration ${\displaystyle \lambda }$ par :

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m^{*}}{\mu _{0}(e^{*})^{2}\rho _{s}}}}}$

Et on voit que les solutions de l'équation de London sont de la forme ${\displaystyle \mathbf {A} (x)=\mathbf {A} (0)e^{-x/\lambda }}$, ce qui entraine que le champ magnétique n'est différent de zéro que dans une couche d'épaisseur ${\displaystyle \lambda }$ près de la surface du supraconducteur.

En utilisant l'expression de ${\displaystyle \rho _{s}}$, on montre que ${\displaystyle \lambda }$ varie avec la température comme :

${\displaystyle (T-T_{c})^{-1/2}}$

et donc que le rapport ${\displaystyle \kappa =\lambda /\xi }$ est indépendant de la température.

L'équation de Landau-Ginzburg permet aussi de prédire qu'il existe deux types de supraconducteurs, les supraconducteurs de type I dans lesquels la longueur de cohérence du paramètre d'ordre est plus grande que la longueur de pénétration du champ magnétique (${\displaystyle \kappa <1/{\sqrt {2}}}$), et qui reviennent à l'état normal au-delà d'un champ critique ${\displaystyle H_{c}}$, et les supraconducteurs de type II où la longueur de cohérence est faible devant la longueur de pénétration du champ magnétique (${\displaystyle \kappa >1/{\sqrt {2}}}$).

L. P. Gork'ov a établi par des méthodes de fonction de Green que la théorie de Ginzburg-Landau pouvait être obtenue à partir de la théorie BCS moyennant certaines approximations.

Le calcul de Gor'kov permet aussi de montrer que ${\displaystyle e^{*}=2e}$, ${\displaystyle m^{*}=2m}$, c'est-à-dire que les « électrons condensés » de Landau et Ginzburg sont en fait des paires d'électrons.

Il existe des modifications de la théorie de Landau et Ginzburg (Landau-Ginzburg dépendant du temps) qui permettent de décrire la dynamique des vortex.