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Théorème des trois cercles de Hadamard

En analyse complexe, le théorème des trois cercles de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur une couronne.

Énoncé

Soit f une fonction holomorphe sur l'ouvert et continue sur son adhérence .

On pose : .

Alors ln(M(r)) est une fonction convexe de ln r.

C'est-à-dire : .

De plus, si f(z) n'est pas de la forme A zB, alors ln(M(r)) est une fonction strictement convexe de ln r.

Démonstration

Le résultat peut se déduire du théorème des trois droites de Hadamard[1].

On pose et .

On a donc : .

Or g est holomorphe sur et continue sur .

Donc, par le théorème des trois droites de Hadamard, m est logarithmiquement convexe.

Or m = M ∘ exp, donc ln(M(r)) est bien une fonction convexe de ln r.

Histoire

John Edensor Littlewood donna en 1912 l'énoncé et une démonstration du théorème[2] mais ne l'attribua à personne en particulier, le considérant comme un théorème bien connu. Harald Bohr et Edmund Landau l'attribuèrent à Jacques Hadamard, qui l'avait énoncé en 1896, sans toutefois publier de preuve[3].

Annexes

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadamard three-circle theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) David C. Ullrich, Complex Made Simple, vol. 97, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics », , 489 p. (ISBN 978-0-8218-4479-3 et 0-8218-4479-2, lire en ligne), p. 387.
  2. J. E. Littlewood, « Quelques conséquences de l'hypothèse que la function ζ(s) de Riemann n'a pas de zéros dans le demi-plan Re(s) > 1/2 », Comptes rendus de l'Académie des sciences, no 154, , p. 263-266.
  3. (en) H. M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover Publications, (ISBN 0-486-41740-9), section 9.3.

Bibliographie

(en) Edward Charles Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford, Clarendon Press, , chap. 14

Lien externe

(en) « Proof of Hadamard three-circle theorem », sur PlanetMath

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