Théorème des trois droites de Hadamard

Soit f une fonction holomorphe bornée sur l'ouvert ${\displaystyle B=\{x+iy:(x,y)\in ]a,b[\times \mathbb {R} \}}$ continue sur ${\displaystyle {\overline {B}}}$.

On pose : ${\displaystyle M:x\mapsto \sup _{y}|f(x+iy)|}$.

Alors ln M est une fonction convexe sur [a, b], c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall t\in [0,1]}$, en posant : ${\displaystyle x=ta+(1-t)b}$, on a : ${\displaystyle M(x)\leq M(a)^{t}M(b)^{1-t},}$

et de même en remplaçant [a, b] par un sous-intervalle.

Soit ${\displaystyle \epsilon >0}$ quelconque. On pose : ${\displaystyle F:z\mapsto {\frac {f(z)M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}M(b)^{\frac {z-a}{a-b}}}{(z+i(1-a))^{\epsilon }}}}$. Cette fonction est bien définie et holomorphe sur ${\displaystyle B}$.

Pour tout ${\displaystyle z\in {\overline {B}}}$, ${\displaystyle \left|(z+i(1-a))^{\epsilon }\right|\geq 1}$ car ${\displaystyle |z+i(1-a)|\geq \Im (z+i(1-a))\geq 1}$. Donc ${\displaystyle \forall z\in \partial B,|F(z)|\leq 1}$.

Par le principe du maximum, si F n'est pas constante, alors |F| n'admet pas de maximum local sur B. Puisque ${\displaystyle |F(z)|\to 0}$ quand ${\displaystyle |z|\to +\infty }$, cela implique que ${\displaystyle |F(z)|\leq 1}$ pour tout ${\displaystyle z\in {\overline {B}}}$.

En faisant tendre ${\displaystyle \epsilon }$ vers 0, il en résulte que : ${\displaystyle \forall z\in {\overline {B}},|f(z)||M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}||M(b)^{\frac {z-a}{a-b}}|\leq 1}$.

Or : ${\displaystyle |M(a)^{\frac {z-b}{b-a}}|=M(a)^{\frac {x-b}{b-a}}=M(a)^{-t}}$.

De même, ${\displaystyle |M(b)^{\frac {z-a}{b-a}}|=M(a)^{t-1}}$.

Donc : ${\displaystyle \forall z\in {\overline {B}},|f(z)|\leq M(a)^{t}M(b)^{1-t}}$, ce qui est équivalent au résultat.