Théorème de monodromie

Soit U ouvert connexe de ℂ, ${\displaystyle a,b\in U}$. Soit ${\displaystyle \alpha =(a,\tau _{a}f)}$ un germe de fonction analytique prolongeable le long de tout chemin dans U issu de ${\displaystyle a}$.

Si ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ sont deux chemins homotopes dans U reliant ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ alors ils aboutissent sur un même germe ${\displaystyle \beta }$.

De plus, si U est simplement connexe, il existe une fonction analytique sur U dont le germe en ${\displaystyle a}$ est ${\displaystyle \alpha }$.

On prend

${\displaystyle U=\mathbb {C} ^{*},~a=1{\text{ et }}\alpha =\left(1,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(z-1)^{n}\right).}$

On aura reconnu la série de la détermination principale du logarithme sur D(1, 1). Le germe se prolonge le long de tout chemin de ℂ* par la formule : ${\displaystyle \int \limits _{\gamma }{\frac {{\rm {d}}w}{w}}.}$

D'après le théorème de monodromie, on en déduit que si deux chemins γ et δ sont homotopes dans ℂ*, ils aboutissent au même germe du logarithme.

L'homotopie des chemins se lit géométriquement : « le lacet γ – δ n'entoure pas le point 0 ». En revanche si les chemins ne sont pas homotopes, on voit facilement que les germes sont distincts dans ce cas : le logarithme principal a une discontinuité de 2iπ à la traversée de la demi-droite réelle négative.

Bien sûr, la simple connexité de U n'est pas une condition nécessaire : avec

${\displaystyle U=\mathbb {C} \setminus \lbrace 1\rbrace ,~a=0{\text{ et }}\alpha =\left(0,\sum _{k\in \mathbb {N} }z^{k}\right),}$

on reconnaît la série géométrique ; elle converge uniformément sur les compacts de D(0, 1) vers ${\displaystyle f:z\mapsto {\frac {1}{1-z}}}$. Alors ${\displaystyle f}$ est analytique sur U et prolonge le germe ${\displaystyle \alpha }$ sans pour autant que U soit simplement connexe.