Théorème de l'espérance totale

L'espérance conditionnelle E( X | Y ) est elle-même une variable aléatoire, dont la valeur dépend de la valeur de Y. À noter que l'espérance conditionnelle de X sachant l'événement [Y = y] est une fonction de y. Si on note E( X | Y = y) = g(y), alors la variable aléatoire E( X | Y ) est tout simplement g(Y).

Un cas particulier de ce résultat est que, si les événements ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ forment une partition (c'est-à-dire que ces événements sont deux à deux disjoints et que leur union forme l'univers), alors on a :

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i=1}^{n}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{Y}\left(\operatorname {E} _{X\mid Y}(X\mid Y)\right)&{}=\operatorname {E} _{Y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&{}=\sum _{y}{\Bigg [}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&{}=\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&{}=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&{}=\sum _{x}x\sum _{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&{}=\sum _{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&{}=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}}$

Plus formellement, l'énoncé dans le cas général fait appel à un espace probabilisé ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ sur lequel deux sous ${\displaystyle \sigma }$-tribus ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}}$ sont définies. Pour une variable aléatoire ${\displaystyle X}$ sur un tel espace, le théorème de l'espérance totale stipule que

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}].}$

Puisqu'une espérance conditionnelle est une dérivée de Radon–Nikodym, il suffit de vérifier les deux propriétés suivantes pour démontrer le théorème de l'espérance totale.

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]}$ est ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$-mesurable
• ${\displaystyle \forall G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1},\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]dP=\int _{G_{1}}XdP}$

La première proposition est vraie d'après la définition de l'espérance conditionnelle, et la seconde est vraie puisque ${\displaystyle G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}}$ implique que

${\displaystyle \int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]dP=\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]dP=\int _{G_{1}}XdP}$

Dans le cas particulier où ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)}$ le théorème de l'espérance totale peut se résumer à l'énoncé suivant :

${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X]}$