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Théorème de Zsigmondy

En théorie des nombres, le théorème de Zsigmondy, nommé d'après Karl Zsigmondy, énonce que si a > b > 0 sont des entiers premiers entre eux, alors pour tout entier n ≥ 1, il existe un nombre premier p (appelé diviseur premier primitif) qui divise anbn et ne divise pas akbk pour k < n, avec les exceptions suivantes :

  • n = 1, ab = 1 ; alors, anbn = 1 qui n'a pas de diviseurs premiers ;
  • n = 2, a + b une puissance de deux ; alors, n'importe quel facteur premier impair de a2b2 = (a + b)(a1b1) doit être contenu dans a1b1, qui est aussi pair ;
  • n = 6, a = 2, b = 1 ; alors, a6b6 = 63 = 32×7 = (a2b2)2(a3b3).

Cela généralise un théorème de Bang, qui énonce que si n > 1 et n différent de 6, alors 2n − 1 a un diviseur premier qui ne divise 2k − 1 pour aucun k < n.

De même, an + bn a au moins un diviseur premier primitif, à l'exception de 23 + 13 = 9.

Le théorème de Zsigmondy est souvent utile, en particulier en théorie des groupes, où il est utilisé pour démontrer que différents groupes ont des ordres distincts, sauf quand ils sont égaux.

Histoire

Le théorème a été découvert par Zsigmondy, qui travaillait à Vienne de 1894 à 1925.

Généralisations

Soit une suite d'entiers non nuls. L'ensemble de Zsigmondy associé à la suite est l'ensemble

,

c'est-à-dire l'ensemble des indices  tels que tout nombre premier divisant  divise aussi  pour un certain . Ainsi, le théorème de Zsigmondy implique que , et le théorème de Carmichael (en) énonce que l'ensemble de Zsigmondy de la suite de Fibonacci est , et celui de la suite de  Pell est . En 2001, Bilu, Hanrot et Voutier[1] ont prouvé qu'en général, si  est une suite de Lucas ou une suite de Lehmer (en), alors .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Zsigmondy's theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Y. Bilu, G. Hanrot et P. M. Voutier, « Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers », J. reine angew. Math., vol. 539, , p. 75-122.

Voir aussi

Bibliographie

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Zsigmondy Theorem », sur MathWorld

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