Théorème de Zsigmondy
En théorie des nombres, le théorème de Zsigmondy, nommé d'après Karl Zsigmondy, énonce que si a > b > 0 sont des entiers premiers entre eux, alors pour tout entier n ≥ 1, il existe un nombre premier p (appelé diviseur premier primitif) qui divise an − bn et ne divise pas ak − bk pour k < n, avec les exceptions suivantes :
- n = 1, a − b = 1 ; alors, an − bn = 1 qui n'a pas de diviseurs premiers ;
- n = 2, a + b une puissance de deux ; alors, n'importe quel facteur premier impair de a2 − b2 = (a + b)(a1 − b1) doit être contenu dans a1 − b1, qui est aussi pair ;
- n = 6, a = 2, b = 1 ; alors, a6 − b6 = 63 = 32×7 = (a2 − b2)2(a3 − b3).
Cela généralise un théorème de Bang, qui énonce que si n > 1 et n différent de 6, alors 2n − 1 a un diviseur premier qui ne divise 2k − 1 pour aucun k < n.
De même, an + bn a au moins un diviseur premier primitif, à l'exception de 23 + 13 = 9.
Le théorème de Zsigmondy est souvent utile, en particulier en théorie des groupes, où il est utilisé pour démontrer que différents groupes ont des ordres distincts, sauf quand ils sont égaux.
Histoire
Le théorème a été découvert par Zsigmondy, qui travaillait à Vienne de 1894 à 1925.
Généralisations
Soit une suite d'entiers non nuls. L'ensemble de Zsigmondy associé à la suite est l'ensemble
- ,
c'est-à-dire l'ensemble des indices tels que tout nombre premier divisant divise aussi pour un certain . Ainsi, le théorème de Zsigmondy implique que , et le théorème de Carmichael (en) énonce que l'ensemble de Zsigmondy de la suite de Fibonacci est , et celui de la suite de Pell est . En 2001, Bilu, Hanrot et Voutier[1] ont prouvé qu'en général, si est une suite de Lucas ou une suite de Lehmer (en), alors .
Notes et références
- (en) Y. Bilu, G. Hanrot et P. M. Voutier, « Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers », J. reine angew. Math., vol. 539, , p. 75-122.
Voir aussi
Bibliographie
- (en) Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski et Thomas Ward, Recurrence sequences, Providence (RI), AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 104), (ISBN 0-8218-3387-1, zbMATH 1033.11006), p. 103-104
- (en) Walter Feit, « On Large Zsigmondy Primes », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 102, no 1, , p. 29-36 (DOI 10.2307/2046025, JSTOR 2046025)
- (en) Moshe Roitman, « On Zsigmondy Primes », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 125, no 7, , p. 1913-1919 (DOI 10.1090/S0002-9939-97-03981-6, JSTOR 2162291)
- (de) Th. Schmid, « Karl Zsigmondy », Jahresber. DMV, vol. 36, , p. 167-168 (lire en ligne)
- (de) K. Zsigmondy, « Zur Theorie der Potenzreste », Monatshefte für Mathematik, vol. 3, no 1, , p. 265-284 (DOI 10.1007/BF01692444)
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein, « Zsigmondy Theorem », sur MathWorld