Théorème de Wigner

Soit ${\displaystyle M_{n}=(X_{i,j})_{i,j\leqslant n}}$une matrice aléatoire symétrique de taille ${\displaystyle n\times n}$, dont les entrées au-dessus de la diagonale sont des variables indépendantes et identiquement distribuées. On suppose que ces variables sont centrées (leur espérance est nulle) et dont la variance est égale à ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Par le théorème spectral, la matrice ${\displaystyle M_{n}}$est diagonalisable et possède ${\displaystyle n}$ valeurs propres réelles (pas nécessairement distinctes), que l'on ordonne dans l'ordre décroissant : ${\displaystyle \lambda _{1}^{n}\geqslant ...\geqslant \lambda _{n}^{n}}$. Notons ${\displaystyle \mu _{n}}$la loi spectrale empirique de la matrice ${\displaystyle M_{n}/{\sqrt {n}}}$ : autrement dit,

$${\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta _{\lambda _{i}^{n}}}$$

où ${\displaystyle \delta }$ est le symbole de Dirac. La loi spectrale empirique est une loi de probabilité qui est elle-même aléatoire : pour chaque réalisation de la variable aléatoire ${\displaystyle M_{n}}$, elle vaudra une certaine valeur. Elle permet notamment de connaître la localisation des valeurs propres : par exemple, si ${\displaystyle [a,b]}$ est un intervalle, alors ${\displaystyle \mu _{n}([a,b])}$ est égal à la proportion de valeurs propres de ${\displaystyle M_{n}}$ contenues dans l'intervalle ${\displaystyle [a,b]}$.

Enfin, rappelons que la loi du demi-cercle est la loi de probabilité dont la densité par rapport à la mesure de Lebesgue est la fonction ${\displaystyle \mu (x)=\mathbb {I} _{|x|\leqslant 2}{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}}$.

Dans le cadre exposé précédemment, le théorème de Wigner dit que ${\displaystyle \mu _{n}}$ converge en loi vers la loi du demi-cercle. Une version faible donne la convergence au sens des moments : pour tout entier ${\displaystyle k}$, on a

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{\mathbb {R} }x^{k}d\mu _{n}(x)\right]\longrightarrow \int _{\mathbb {R} }x^{k}\rho (x)dx}$$

lorsque ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini.

Pour démontrer la version faible, on utilise une preuve combinatoire[1] reposant sur les nombres de Catalan ; les moments de ${\displaystyle \mu }$ suivent leur parité :

$${\displaystyle \forall r\in \mathbb {N} ,\int x^{r}d\mu (x)=\int _{0}^{2}x^{r}{\frac {\sqrt {4-x^{2}}}{2\pi }}dx=\left\{{\begin{array}{ll}0&{\mbox{si }}r=2k+1\\{\frac {1}{2k+1}}{\binom {2k}{k}}&{\mbox{si }}r=2k.\end{array}}\right.}$$

On trouve également la méthode de la résolvante[1]. On remarque que la famille de fonctions test ${\displaystyle \{x\mapsto x^{r},r\in \mathbb {N} \}}$ ramène le problème à la méthode des moments. Soit ${\displaystyle \mathbb {C} _{+}:=\{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} (z)>0\}}$. On peut considérer la famille de fonctions test ${\displaystyle \{x\mapsto 1/(x-z),z\in \mathbb {C} _{+}\}}$ et ramener le problème à une équation pour la trace de la résolvante, liée à la transformée de Cauchy-Stieltjes ${\displaystyle S_{\nu }:\mathbb {C_{+}} \rightarrow \mathbb {C} }$ d'une loi ${\displaystyle \nu }$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ définie par :

$${\displaystyle S_{\nu }(z):=\int {\frac {1}{x-z}}d\nu (z).}$$