Théorème de Lindelöf

Soit Ω une demi-bande du plan complexe:

${\displaystyle \Omega =\{z\in \mathbb {C} |x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}{\text{ et }}\mathrm {Im} (z)\geq y_{0}\}\subsetneq \mathbb {C} .\,}$

Supposons que ƒ est holomorphe (i.e. analytique) sur Ω et qu'existent M, A et B telles que

${\displaystyle |f(z)|\leq M{\text{ pour tout }}z\in \partial \Omega \,}$

et

${\displaystyle {\frac {|f(x+iy)|}{y^{A}}}\leq B{\text{ pour tout }}x+iy\in \Omega .\,}$

Alors f est bornée par M sur Ω entier:

${\displaystyle |f(z)|\leq M{\text{ pour tout }}z\in \Omega .\,}$

Soit ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$ appartenant à ${\displaystyle \Omega }$. Soient ${\displaystyle \lambda >-y_{0}}$, un entier ${\displaystyle N>A}$ et ${\displaystyle y_{1}>\tau }$ vérifiant ${\displaystyle {\frac {By_{1}^{A}}{(y_{1}+\lambda )^{N}}}\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}}$. En appliquant le principe du maximum à la fonction ${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{(z+i\lambda )^{N}}}}$ sur le rectangle${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}{\text{ et }}y_{0}\leq \mathrm {Im} (z)\leq y_{1}\}}$on obtient ${\displaystyle |g(\xi )|\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}}$, c'est-à-dire, ${\displaystyle |f(\xi )|\leq M\left({\frac {|\xi +\lambda |}{y_{0}+\lambda }}\right)^{N}}$. En faisant ${\displaystyle \lambda \rightarrow +\infty }$, on en déduit ${\displaystyle |f(\xi )|\leq M}$ comme voulu.

• Principe du maximum
• Principe de Phragmén–Lindelöf
• Théorème des trois droites de Hadamard

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lindelöf's theorem » (voir la liste des auteurs).
• Edwards, H.M., Riemann's Zeta Function, New York, NY, Dover, 2001 (ISBN 0-486-41740-9)