Théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch

Le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch s'applique à tout fibré vectoriel holomorphe E sur une variété complexe compacte X, pour calculer la caractéristique d'Euler holomorphe de E,c'est-à-dire

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{\dim _{\mathbb {C} }X}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)}$

Le théorème exprime χ(X, E) en fonction des classes de Chern C_j(E) de E, et des polynômes de Todd T_j en les classes de Chern du fibré tangent holomorphe de X. Il s'agit d'éléments de l'anneau de cohomologie de X; en utilisant la classe fondamentale (en) (c'est-à-dire, l'intégration sur X) on peut les considérer comme des nombres. Voici donc le théorème de Riemann-Roch-Hirzebruch :

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{j=0}^{n}\operatorname {ch} _{n-j}(E){\frac {T_{j}}{j!}},}$

ch(E) désignant le caractère de Chern en cohomologie

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\sum \exp(x_{i}).}$

On peut donc refomuler le théorème comme suit :

${\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}$

où td(X) est la classe de Todd du fibré tangent à X.