Théorème de Hardy-Ramanujan

Une version plus précise indique que pour toute fonction à valeurs réelles ${\textstyle \psi (n)}$ qui tend vers l'infini quand n → ${\displaystyle \infty }$, on a :

$${\displaystyle |\omega (n)-\ln(\ln \,n)|<\psi (n){\sqrt {\ln(\ln \,n)}}}$$

Cette relation n'est pas valable que pour une proportion infinitésimale de nombres réels. Si ${\displaystyle g(x)}$ désigne le nombre d'entiers naturels ${\displaystyle n}$ inférieurs à ${\displaystyle x}$ pour lesquels l'inégalité ci-dessus n'est pas valide : alors ${\displaystyle g(x)/x}$ converge vers zéro lorsque ${\displaystyle x}$ tend vers l'infini.

Une autre preuve a été donnée par Pál Turán en 1934. La mathématicien a utilisé le crible de Turán afin de prouver la majoration :

$${\displaystyle \sum _{n\leq x}|\omega (n)-\ln(\ln \,n)|^{2}\ll x\ln(\ln \,x).}$$

G. H. Hardy et S. Ramanujan ont aussi montré l'équivalence suivante[2]:

$${\displaystyle {\frac {\omega (1)+\omega (2)+\,...+\,\omega (n)}{n}}\sim \ln(\ln \,n)\qquad (n\rightarrow +\infty ).}$$

On dit alors que ${\textstyle \ln(\ln \,n)}$ est un ordre moyen de ${\textstyle \omega (n)}$.

Les mêmes résultats sont vrais pour ${\textstyle \Omega (n)}$, le nombre de facteurs premiers de n comptés avec multiplicité. Ce théorème est généralisé par le théorème d'Erdős–Kac, qui montre que ${\displaystyle \omega (n)}$ est essentiellement normalement distribué.

• Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008), "The Erdős–Kac theorem and its generalizations", in De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrew ; Luca, Florian (éd.), Anatomy of integers. D'après l'atelier CRM, Montréal, Canada, 13-17 mars 2006, Actes de CRM et notes de cours, 46, Providence, RI: American Mathematical Society, pp.   209-216, (ISBN 978-0-8218-4406-9), Zbl 1187.11024
• Turán, Pál (1934), "On a theorem of Hardy and Ramanujan", Journal de la London Mathematical Society, 9 (4): 274-276, doi : 10.1112 / jlms / s1-9.4.274, ISSN 0024-6107, Zbl 0010.10401
• Hildebrand, A. (2001) [1994], "H/h110080", dans Hazewinkel, Michiel (éd.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, (ISBN 978-1-55608-010-4)