Théorème de Fenchel

En géométrie différentielle, le théorème de Fenchel stipule que la courbure moyenne de toute courbe convexe fermée dans le plan euclidien est égale à $2\pi /L$ , où $L$ est la longueur de la courbe. Il porte le nom de Werner Fenchel, qui l'a publié en 1929. Plus généralement, pour une courbe fermée arbitraire de l'espace, la courbure moyenne est $\geq 2\pi /L$ avec égalité uniquement pour les courbes planes convexes.

Un cercle de rayon r a une courbure moyenne 1/r = 2π/P, où P=2πr est le périmètre.

Références

(en) Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves & Surfaces, Mineola, NY, Dover Publications, 2016 (ISBN 978-0-486-80699-0, MR 3837152, zbMATH 1352.53002)
(de) Werner Fenchel, « Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven », Mathematische Annalen, vol. 101, n^o 1,‎ 1929, p. 238-252 (DOI 10.1007/bf01454836, MR 1512528, lire en ligne)
(en) Werner Fenchel, « On the differential geometry of closed space curves », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 57, n^o 1,‎ 1951, p. 44-54 (DOI 10.1090/S0002-9904-1951-09440-9, MR 0040040, zbMATH 0042.40006) ; voir en particulier l'équation 13, p. 49
(en) Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, Amsterdam, Academic Press, 2006 (ISBN 978-0-12-088735-4, DOI 10.1016/C2009-0-05241-6, MR 2351345, zbMATH 1208.53003)
(en) Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 3, Wilmington, DE, Publish or Perish, 1999 (ISBN 0-914098-72-1, MR 0532832, zbMATH 1213.53001)

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