Théorème de Cohen-Seidenberg

On considère un anneau commutatif A et une extension d'anneau B ⊇ A. Le théorème porte sur les idéaux premiers de A et B. On considère quatre situations[4] :

1. On dit que B ⊇ A est « au-dessus » si pour tout idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ de A, il existe un idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ de B tel que ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {p}}}$. On peut représenter cette situation de la manière suivante :
   $${\displaystyle {\begin{aligned}&~{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spec} B\\&\downarrow \\&~{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\end{aligned}}}$$

   
2. On dit que B ⊇ A est « incomparable » si pour tous idéaux premiers ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\neq {\mathfrak {q}}'}$ de B, satisfaisant ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {q}}'\cap A={\mathfrak {p}}}$ pour un certain idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ de A, on a ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\nsubseteq {\mathfrak {q}}'}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\nsupseteq {\mathfrak {q}}'}$. Schématiquement,
   $${\displaystyle {\begin{aligned}&~~{\mathfrak {q}}\quad \|\quad {\mathfrak {q}}'\\&\quad \searrow \swarrow \\&\qquad {\mathfrak {p}}\end{aligned}}}$$

   
3. On dit que B ⊇ A possède la « propriété de montée » si, pour toutes chaînes croissantes d'idéaux ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ de A et ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ de B telles que ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\cap A={\mathfrak {p}}_{i}}$, on peut compléter la chaîne d'idéaux de B pour qu'elle soit aussi longue que celle de A, tout en maintenant que ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\cap A={\mathfrak {p}}_{i}}$ dans la chaîne étendue. Schématiquement,
   $${\displaystyle {\begin{aligned}&~{\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}\\&\downarrow \qquad \downarrow \qquad \,\,\qquad \downarrow \\&~{\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}\end{aligned}}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{aligned}&~{\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}\\&\downarrow \qquad \downarrow \qquad \,\,\qquad \downarrow \qquad \qquad \,\,\downarrow \\&~{\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}\end{aligned}}}$$

   
4. On dit que B ⊇ A possède la « propriété de descente » si, pour toutes chaînes décroissantes d'idéaux, on peut également compléter une chaîne d'idéaux de B pour qu'elle ait la même longueur que celle de A et qu'elle satisfasse ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\cap A={\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\cap A={\mathfrak {p}}_{i}}$. Schématiquement,
   $${\displaystyle {\begin{aligned}&~{\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}\\&\downarrow \qquad \downarrow \qquad \,\,\qquad \downarrow \\&~{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {p}}_{m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {p}}_{n}\end{aligned}}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{aligned}&~{\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}\\&\downarrow \qquad \downarrow \qquad \,\,\qquad \downarrow \qquad \qquad \,\,\downarrow \\&~{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {p}}_{m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {p}}_{n}\end{aligned}}}$$

   

La propriété de montée implique notamment la propriété d'être au-dessus[5]. Ces propriétés peuvent également être définies dans le cas non commutatif, mais il faut alors distinguer les idéaux à gauche des idéaux à droite[3].

Le théorème de Cohen-Seidenberg montre alors les faits suivants :

• (Montée) Si B est une extension entière de A, alors B satisfait les propriétés de montée (donc aussi d'être au-dessus) et d'incomparabilité[1].
• (Descente) Si B est une extension plate de A, alors B possède toutes les propriétés mentionnées : descente, montée (et au-dessus), incomparabilité[6].

Dans le cas d'une extension entière, on a aussi la propriété de descente (en plus de la montée et de l'incomparabilité) si de plus B ne possède pas de diviseur de zéro et A est intégralement clos.

En termes schématiques, dire que B est une extension entière de A revient à dire que ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)\to \operatorname {Spec} (A)}$ est fermée, de sorte que le théorème de montée revient à dire que l'application ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B/{\mathfrak {q}})\to \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {p}})}$ est surjective. De même, si B ⊇ A a la propriété de descente et est de type fini, ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)\to \operatorname {Spec} (A)}$ est ouverte. Ainsi ce théorème possède également une interprétation géométrique[7].

Du théorème de Cohen-Seidenberg on tire beaucoup de conséquences utiles sur les extensions entières, en particulier sur leur dimension. Si B est une extension entière de A, on a notamment les corollaires suivants[8] :

• dim B = dim A (c'est pour montrer ce résultat que Cohen et Seidenberg ont prouvé le théorème) ;
• si un élément de A possède un inverse dans B, alors cet inverse appartient à A (donc si B est un corps, alors A est un corps).

Une autre conséquence classique de ce théorème est que la dimension de ${\displaystyle k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$ est n.

Enfin, le théorème de descente permet, lorsqu'il s'applique, de montrer que pour tout idéal ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ de B, la restriction préserve la hauteur : ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {q}}\cap A)}$.