Théorème de Castigliano

La dérivée partielle du travail des forces extérieures par rapport à une force est égale au déplacement du point d'application selon la ligne d'action de cette force. Ainsi la dérivée partielle du travail des forces extérieures par rapport à un couple (mécanique) détermine la rotation de la poutre au point de la section où s'applique ce couple.

${\displaystyle q_{i}}$ avec ${\displaystyle i=1,...,n}$

${\displaystyle q_{i}}$ ... déplacements généralisés

${\displaystyle Q_{i}}$ ... forces généralisées

${\displaystyle U=U(q_{1},...,q_{n})}$ ... énergie élastique (énergie de déformation)

${\displaystyle {\frac {\partial U^{*}}{\partial Q_{i}}}=q_{i}}$ avec ${\displaystyle i=1,...,n}$

${\displaystyle q_{i}}$ ... déplacements généralisés

${\displaystyle Q_{i}}$ ... forces généralisées

${\displaystyle U^{*}=U^{*}(Q_{1},...,Q_{n})}$ ... énergie interne, dite énergie complémentaire de déformation

Le second énoncé de Castigliano peut également être mis à profit pour le calcul d'efforts hyperstatiques. La forme particulière sous laquelle on l'utilise alors prend le nom d'équation de Menabrea.

${\displaystyle {\frac {\partial U^{*}}{\partial X_{i}}}=0}$ avec ${\displaystyle i=1,...,n}$

${\displaystyle X_{i}}$ ... inconnues hyperstatiques (qui ne «travaillent» pas) ${\displaystyle U^{*}=U^{*}(X_{1},...,X_{n})}$ ... énergie interne, dite énergie complémentaire de déformation.

• Castigliano, Carlo Aberto: Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Nero, Turin 1879.
• Jean Salençon Mécanique des milieux continus vol. 2 (1989) éd. Ellipses, (ISBN 2-7302-0195-5)
• J.-P. Henry, E. Parsy Cours d'élasticité (1982), éd. Dunod, (ISBN 2-04-010814-9)
• J. Goulet, J-P. Boutin - Résistance des matériaux (1998), éd. Dunod-Université, (ISBN 2-10-004158-4)