Énergie élastique

Pour un fluide, on définit typiquement cette énergie par

${\displaystyle \mathrm {E_{e}} =p\cdot \mathrm {V} }$

où p est la pression et V le volume du fluide.

Cas d'un liquide "incompressible"

Écoulement d'un fluide "incompressible" dans une canalisation.

Considérons un fluide "incompressible" qui s'écoule sans dissipation d'énergie dans une canalisation. On considère la partie comprise en une section droite 1 d'aire A₁ et une section droite 2 d'aire A₂. Lorsque le fluide avance, la section 1 avance d'une quantité s₁ et la section 2 d'une quantité s₂. Si le fluide est "incompressible", le volume se conserve et l'on a

A₁×s₁ = A₂×s₂ = δV.

Le travail des forces de pression s'écrit :

W = (p₁×A₁)×s₁ - (p₂×A₂)×s₂ = (p₁ - p₂)δV.

Si l'on fait sortir tout le liquide d'une canalisation de volume V où il règne une pression p dans un espace où la pression est nulle, cela représente un travail

p₁V.

On peut ainsi définir l'énergie élastique du liquide comme valant

E_e = pV.

Rappelons qu'un fluide (comme toute matière) n'est jamais totalement "incompressible", la compressibilité étant directement relié à la vitesse du son dans l'élément. Ceci est donc une idéalisation pour simplifier les calculs mais en toute rigueur, nous parlerons plutôt d'écoulement incompressible.

Pour un ressort de raideur k, elle est définie en fonction de l'allongement Δl :

${\displaystyle \mathrm {E_{e}} ={\frac {1}{2}}\cdot k\cdot \Delta l^{2}}$

En mécanique des milieux continus, la densité d'énergie élastique (en J·m^-3) s'exprime

• dans le cas de la traction uniaxiale, en fonction de la contrainte normale σ et de l'allongement relatif ε :
  ${\displaystyle w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\cdot \sigma \cdot \varepsilon }$
  soit d'après la loi de Hooke, en faisant intervenir le module d'élasticité E :
  ${\displaystyle w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {E} \cdot \varepsilon ^{2}}$ ;
• dans le cas du cisaillement pur, en fonction de la contrainte de cisaillement τ et de la déformation angulaire γ :
  ${\displaystyle w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\cdot \tau \cdot \gamma }$
  soit en faisant intervenir le module de cisaillement G :
  ${\displaystyle w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {G} \cdot \gamma ^{2}}$ ;

Il va de soi que ces expressions ne sont valables que pour des matériaux sollicités dans le domaine élastique (la contrainte demeure en deçà de la limite d'élasticité).

De manière générale, l'énergie élastique par unité de volume vaut

${\displaystyle w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(\sigma _{ij}\varepsilon _{ij})}$

c'est-à-dire, avec la convention de sommation d'Einstein :

${\displaystyle w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} ({\underline {\mathrm {T} }}\cdot {\underline {\mathrm {E} }})}$.

En utilisant les composantes principales (voir Tenseur des déformations > Déformations principales et Contrainte principale) :

${\displaystyle w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{\mathrm {I} }\varepsilon _{\mathrm {I} }+\sigma _{\mathrm {II} }\varepsilon _{\mathrm {II} }+\sigma _{\mathrm {III} }\varepsilon _{\mathrm {III} })}$.

En faisant intervenir la loi de Hooke généralisée pour un matériau isotrope, on obtient

${\displaystyle w_{\mathrm {e} }=\left(\mu +{\frac {\lambda }{2}}\right)\mathrm {I} _{\mathrm {e} 1}^{2}-2\mu \mathrm {I} _{\mathrm {e} 2}}$

où

• λ et μ sont les coefficients de Lamé ;
• I_e1 et I_e2 sont les invariants du tenseur de déformation ;

ou encore

${\displaystyle w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2\mathrm {E} }}\mathrm {I} _{\mathrm {s} 1}^{2}-{\frac {1}{2\mu }}\mathrm {I} _{\mathrm {s} 2}}$

où

• E est le module de Young ;
• I_s1 et I_s2 sont les invariants du tenseur des contraintes.

Si l'on décompose les tenseurs en partie isotrope et déviateur (voir Tenseur des déformations > Tenseur isotrope et déviateur et Tenseur des contraintes > Déviateur), on a

${\displaystyle w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left((\sigma '+\sigma '')(\varepsilon '+\varepsilon '')\right)={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma '\cdot \varepsilon ')+{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma ''\cdot \varepsilon '')}$.

Les tenseurs isotropes donnent l'énergie de changement de volume (sans changement de forme) :

${\displaystyle \mathrm {U_{v}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma '\cdot \varepsilon ')}$ ;

les déviateurs donnent l'énergie de changement de forme (sans changement de volume), encore appelée énergie de distorsion :

${\displaystyle \mathrm {U_{f}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma ''\cdot \varepsilon '')}$ ;

et donc

w_e = U_v + U_f.

Cette énergie de distorsion est à la base de la définition de la contrainte équivalente de von Mises.