Théorème d'Hoffman-Singleton

On va tout d'abord montrer que ${\displaystyle n=d^{2}+1}$.

Comme ${\displaystyle A}$ est symétrique on a :

${\displaystyle (A^{2})_{ij}=\sum _{k=0}^{n}A_{ik}A_{kj}=\sum _{k=0}^{n}A_{ik}A_{jk}}$

En particulier ${\displaystyle (A^{2})_{ii}}$ représente le nombre de 1 dans la i-ème ligne de ${\displaystyle A}$. Ainsi en remplaçant dans l'équation on obtient :

${\displaystyle (A^{2})_{ij}+A_{ii}-(d-1)=1}$ et donc ${\displaystyle (A^{2})_{ii}=d}$.

D'autre part on a aussi ${\displaystyle A.{\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}=d{\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}$. Ainsi en remplaçant à nouveau dans l'équation on obtient :

${\displaystyle (d^{2}+d-(d-1)){\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}=n{\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}$ et donc ${\displaystyle d^{2}+1=n}$

Cherchons ensuite des contraintes sur les valeurs propres de la matrice ${\displaystyle A}$.

Soit donc ${\displaystyle \lambda }$ une valeur propre de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle v}$ un vecteur propre associé. On a donc aussi :

${\displaystyle (\lambda ^{2}+\lambda -(d-1)).v=J_{n}.v}$

Et donc ${\displaystyle \lambda ^{2}+\lambda -(d-1)}$ est une valeur propre de la matrice ${\displaystyle J_{n}}$ associée à ${\displaystyle v}$, or cette matrice a pour valeurs propres 0 (associée à un sous-espace propre de dimension ${\displaystyle n-1}$) et ${\displaystyle n}$ (associé à un sous-espace propre de dimension ${\displaystyle 1}$) avec de plus ${\displaystyle \operatorname {Ker} (J_{n}-nI_{n})=\operatorname {Vect} ({\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}})}$.

Ainsi :

• soit ${\displaystyle v\in {\textrm {Ker}}(J_{n}-nI_{n})}$ et alors ${\displaystyle \lambda =d}$ ;
• soit ${\displaystyle (\lambda ^{2}+\lambda -(d-1))=0}$ et donc ${\displaystyle \lambda \in \{\lambda _{1},\lambda _{2}\}}$ avec :${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {-1+{\sqrt {4d-3}}}{2}}\quad \lambda _{2}={\frac {-1-{\sqrt {4d-3}}}{2}}}$.

Donnons les valeurs possible pour d.

${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}^{n}(\mathbb {R} )}$ donc elle est diagonalisable avec comme valeurs propres ${\displaystyle d,\lambda _{1},\lambda _{2}}$ et des sous-espaces propres associés de dimensions ${\displaystyle 1,\alpha _{1},\alpha _{2}}$, et comme la trace de ${\displaystyle A}$ est nulle on a :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1+\alpha _{1}+\alpha _{2}=n=d^{2}+1\\d+\alpha _{1}\lambda _{1}+\alpha _{2}\lambda _{2}=0.\end{matrix}}\right.}$

La seconde équation donne :

${\displaystyle -{\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}+{\sqrt {4d-3}}{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}=-d}$ donc d'après la première relation ${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{2}}+{\sqrt {4d-3}}{\frac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}}=-d}$ ou encore ${\displaystyle {\sqrt {4d-3}}(\alpha _{1}-\alpha _{2})=-d(d-2)}$.

• Si ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}$ alors ${\displaystyle d=2}$.
• Sinon, on doit avoir ${\displaystyle {\sqrt {4d-3}}\in \mathbb {Q} }$ donc ${\displaystyle 4d-3=k^{2}}$ on a alors ${\displaystyle k(\alpha _{1}-\alpha _{2})=d(d-2)}$ donc ${\displaystyle k}$ divise ${\displaystyle d(d-2)}$ donc ${\displaystyle k}$ divise ${\displaystyle {\frac {k^{2}+3}{4}}{\frac {k^{2}-5}{4}}}$ donc en particulier ${\displaystyle k}$ divise 15 et donc ${\displaystyle k\in \{1,3,5,15\}}$ d'où ${\displaystyle d\in \{1,2,3,7,57\}}$.