Graphe de Moore

Un graphe de Moore est un graphe régulier de degré d et de diamètre k qui possède un nombre de sommets égal à la borne supérieure :

${\displaystyle 1+d\sum _{i=0}^{k-1}(d-1)^{i}}$

De façon générale, le nombre de sommets d'un graphe de degré maximal d et de diamètre k est inférieur ou égal à cette valeur. Un graphe de Moore possède donc une valeur maximale de sommets pour un degré et un diamètre donnés.

De façon alternative, un graphe de Moore est un graphe régulier de diamètre k et de maille 2k+1. Cette définition est équivalente à la précédente.

Il est possible de généraliser la définition pour permettre à un graphe de Moore d'être de maille paire. Dans ce cas, un graphe de Moore est un graphe régulier de degré d>2 et de maille m dont le nombre de sommets est égal à :

${\displaystyle 1+{d-1}^{{\frac {m}{2}}-1}+m\sum _{i=0}^{\frac {m-4}{2}}(d-1)^{i}}$ si m est pair, et

${\displaystyle 1+d\sum _{i=0}^{\frac {m-3}{2}}(d-1)^{i}}$ si m est impair.

Le graphe de Petersen est un graphe de Moore.

Les graphes complets (de diamètre 1) sont des graphes de Moore. Parmi ceux-ci, les cycles impairs sont des graphes de Moore de degré 2. Les cliques sont des graphes de Moore de diamètre 1.

Le théorème d'Hoffman-Singleton[1] stipule que tout graphe de Moore de maille 5 (et donc de diamètre 2) ne peut avoir qu'un degré 2, 3, 7 ou 57. Il s'agit du pentagone (degré 2 et 5 sommets), du graphe de Petersen (degré 3 et 10 sommets) et du graphe de Hoffman-Singleton (degré 7 et 50 sommets). L'existence d'un graphe de Moore de maille 5 et de degré 57 n'est pas connue; un tel graphe aurait 3 250 sommets.

Si la définition généralisée des graphes de Moore est prise en considération, ils incluent le graphe biparti complet de K_n,n de maille 4, le graphe de Heawood de degré 3 et de maille 6 et le graphe de Tutte–Coxeter de degré 3 et de maille 8. De façon générale, à part les graphes cités ci-dessus, tous les graphes de Moore sont de maille 5, 6, 8 ou 12[2] - [3].