Théorème d'Erdős-Mordell

Pour tout point M intérieur à un triangle ou situé sur sa frontière, la somme des distances de M aux trois sommets est ou supérieure ou égale au double de la somme des distances de M aux [droites portant les] trois côtés, avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral et M en est le centre[1] - [4] - [5] - [6].

Plus précisément, soit ABC un triangle, M un point intérieur à ce triangle, H, K et L les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AC), (BC) et (AB). L'inégalité d'Erdős-Mordell s'énonce :

${\displaystyle MA+MB+MC\geqslant 2(MH+MK+ML)}$.

On montre d'abord ${\displaystyle MA\geqslant {\frac {CA\cdot ML+AB\cdot MH}{BC}}}$.

D'après la cocyclicité de H, M, L, A (angles droits en H et L) , les angles ${\displaystyle {\widehat {HLA}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {HMA}}}$ sont égaux.

Notons maintenant E et F les projections orthogonales de B et C sur la droite (LH). On a alors

${\displaystyle BC\geqslant EF=EL+LH+HF}$

Les angles opposés par le sommet ${\displaystyle {\widehat {BLE}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {HLA}}}$ étant égaux, donc aussi ${\displaystyle {\widehat {BLE}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {HMA}}}$, les triangles rectangles BLE et HMA sont semblables, ce qui implique ${\displaystyle {\frac {LE}{MH}}={\frac {BL}{MA}}}$. On montre de façon similaire que ${\displaystyle FH=ML{\frac {CH}{MA}}}$.

On obtient donc ${\displaystyle BC\cdot MA\geqslant MA\cdot (EL+LH+HF)=BL\cdot MH+ML\cdot CH+LH\cdot MA}$.

D'autre part, le théorème de Ptolémée appliqué au quadrilatère inscriptible ALMH permet d'écrire que ${\displaystyle LH\cdot MA=AL\cdot MH+AH\cdot ML}$.

En combinant les deux résultats, on obtient l'inégalité voulue. De même, ${\displaystyle MB\geqslant {\frac {AB\cdot MK+BC\cdot ML}{CA}}}$ et ${\displaystyle MC\geqslant {\frac {BC\cdot MH+CA\cdot MK}{AB}}}$.

En additionnant membre à membre ces trois inégalités, on obtient bien :

${\displaystyle MA+MB+MC\geqslant \left({\frac {AB}{BC}}+{\frac {BC}{AB}}\right)MH+\left({\frac {AB}{CA}}+{\frac {CA}{AB}}\right)MK+\left({\frac {CA}{BC}}+{\frac {BC}{CA}}\right)ML\geqslant 2(MH+MK+ML)}$

car ${\displaystyle \left(x+1/x\right)\geqslant 2}$ pour tout ${\displaystyle x>0}$.

La deuxième inégalité est une égalité si et seulement si AB = BC = CA autrement dit si le triangle est équilatéral.

La première inégalité est une égalité si seulement si (EF) est parallèle à (BC) et de même pour les deux autres cas, donc si et seulement si M se trouve sur les trois hauteurs, donc enfin si et seulement si M est le centre du triangle.

Pour tout point M intérieur à un polygone convexe à n côtés ou situé sur sa frontière, la somme des distances de M aux n sommets est ou supérieure ou égale à la somme des distances de M aux [droites portant les] n côtés divisée par ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{n}}}$[6].