Théorème d'Erdős-Fuchs

Pour un ensemble fixé A d'entiers naturels, on associe à tout entier n le nombre r(n) de couples d'éléments de A dont n est la somme, et on note

${\displaystyle R(n)={\frac {r(0)+r(1)+\ldots +r(n)}{n}}.}$

Si

${\displaystyle R(n)=C+o\left({\frac {1}{n^{3/4}{\sqrt {\ln n}}}}\right),}$

alors[1]

${\displaystyle C=0.}$

Si A est l'ensemble des carrés parfaits, r(0) + … + r(n) est le nombre de points à coordonnées entières du quart de disque x, y ≥ 0, x² + y² ≤ n donc R(n) → π/4 avec une différence en O(n^–2/3) et même, « par des arguments très profonds »[2], en o(n^–2/3). Il est conjecturé[2] que c'est en fait un O(n^{–3/4 + ε}) pour tout ε > 0 mais on sait démontrer, « par des arguments encore plus difficiles »[2] que ce n'est pas un O(n^{–3/4 – ε}). Le théorème d'Erdős-Fuchs fut donc une surprise, par la généralité de son énoncé et le caractère élémentaire de ses arguments[2].

• Fonction à variation lente

• (en) « Erdős-Fuchs theorem », PlanetMath
• (en) R. C. Vaughan, « On the addition of sequences of integers », J. Number Theory, vol. 4,‎ 1972, p. 1-16 (lire en ligne)