Théorème d'Egoroff

Soit (E, Σ, μ) un espace mesuré vérifiant μ(E) < +∞ (la mesure μ est dite finie). Soit (f_n) une suite de fonctions mesurables sur E à valeurs réelles convergeant μ-presque partout vers une fonction f mesurable sur E.

Alors, pour tout ε > 0, il existe A ∈ Σ tel que μ(A) < ε et tel que f_n converge uniformément vers f sur E\A (le complémentaire de A dans E).

Considérons les fonctions f_n suivantes, définies sur l’ensemble des réels muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue (χ désigne la fonction indicatrice d’un ensemble) : f_n = χ_{[n, n + 1]}. Alors, la suite (f_n) converge simplement (donc μ-presque partout), mais il n’existe aucun borélien de mesure finie sur le complémentaire duquel la convergence soit uniforme.

On considère pour n, k ≥ 1 les ensembles :

${\displaystyle E_{k,n}=\bigcap _{i\geq n}\left\{x\in E\mid |f_{i}(x)-f(x)|\leq 1/k\right\}.}$

Pour tout k ≥ 1, la suite (E_k,n) est croissante (pour l’inclusion), donc :

${\displaystyle \mu \left(\cup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu (E_{k,n})}$.

De plus, comme la suite de fonctions (f_n) converge simplement μ-p.p. vers f, on a, pour tout k ≥ 1 :

${\displaystyle \mu \left(\cup _{n\geq 1}E_{k,n}\right)=\mu (E).}$

On fixe alors ε > 0. Grâce à la condition μ(E) < +∞, on peut trouver pour chaque k ≥ 1 un entier n_k positif tel que

${\displaystyle \mu (E_{k,n_{k}})\geq \mu (E)-2^{-k}\varepsilon .}$

Alors, l’ensemble

${\displaystyle A=\bigcup _{k\geq 1}(E\setminus E_{k,n_{k}})}$

convient.

Soit E un espace métrique, séparable et localement compact, sur lequel on a une mesure μ σ-finie. Soit (f_n) une suite de fonctions mesurables de E dans ℝ convergeant μ-p.p. vers une fonction f mesurable.

Alors, pour tout ε > 0 et pour tout compact K de E, il existe un compact K' inclus dans K tel que μ(K\K') < ε et tel que f_n converge uniformément vers f sur K'.

(en) Michael E. Taylor (de), Measure Theory and Integration, AMS, p. 34-39