Accueil🇫🇷Chercher

Théorème d'Atkinson

Le théorème d'Atkinson[1] - [2] est un résultat d'analyse fonctionnelle qui caractérise les opérateurs de Fredholm.

Énoncé

Pour tout opérateur borné T sur un espace de Banach E, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. T est un opérateur de Fredholm ;
  2. il existe un opérateur borné S sur E tel que idEST et idETS soient de rang fini ;
  3. il existe un opérateur borné S sur E tel que idEST et idETS soient compacts ;
  4. la classe de T dans l'algèbre de Calkin B(E)/K(E) est inversible.

Démonstration

Clairement, 2. implique 3., qui équivaut à 4.

1 ⇒ 2 : supposons que T est de Fredholm, c'est-à-dire que la codimension de son image et la dimension de son noyau sont finies. Ils admettent alors des supplémentaires topologiques : kerTV = E = imTW. De V dans imT, la restriction de T est une bijection continue, dont la bijection réciproque S0 est continue (d'après le théorème de l'application ouverte). Soit S = S0⊕0, où 0 désigne l'application nulle de W dans kerT. Alors, im(idETS) = W et im(idEST) = kerT sont de dimension finie.

3 ⇒ 1 : supposons que idETS et idEST sont compacts. Alors (cf. « Alternative de Fredholm ») kerST est de dimension finie et imTS est de codimension finie. A fortiori, kerT (inclus dans kerST) est de dimension finie et imT (contenant imTS) est de codimension finie.

Notes et références

  1. (en) Frederick Valentine Atkinson, « The normal solvability of linear equations in normed spaces », Mat. Sb., vol. 28, no 70, , p. 3-14.
  2. (en) William Arveson (en), A Short Course on Spectral Theory, coll. « GTM » (no 209), (lire en ligne), p. 93-95.
Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.