Théorème d'Atkinson

Pour tout opérateur borné T sur un espace de Banach E, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. T est un opérateur de Fredholm ;
2. il existe un opérateur borné S sur E tel que id_E – ST et id_E – TS soient de rang fini ;
3. il existe un opérateur borné S sur E tel que id_E – ST et id_E – TS soient compacts ;
4. la classe de T dans l'algèbre de Calkin B(E)/K(E) est inversible.

Clairement, 2. implique 3., qui équivaut à 4.

1 ⇒ 2 : supposons que T est de Fredholm, c'est-à-dire que la codimension de son image et la dimension de son noyau sont finies. Ils admettent alors des supplémentaires topologiques : kerT⊕V = E = imT⊕W. De V dans imT, la restriction de T est une bijection continue, dont la bijection réciproque S₀ est continue (d'après le théorème de l'application ouverte). Soit S = S₀⊕0, où 0 désigne l'application nulle de W dans kerT. Alors, im(id_E – TS) = W et im(id_E – ST) = kerT sont de dimension finie.

3 ⇒ 1 : supposons que id_E – TS et id_E – ST sont compacts. Alors (cf. « Alternative de Fredholm ») kerST est de dimension finie et imTS est de codimension finie. A fortiori, kerT (inclus dans kerST) est de dimension finie et imT (contenant imTS) est de codimension finie.