Théorème d'Euler (arithmétique)

En mathématiques, le théorème d'Euler ou d'Euler-Fermat en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler[1], s'énonce ainsi :

Pour tout entier $n > 0$ et tout entier $a$ premier avec $n$ (autrement dit : inversible mod $n$ ),
$a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$
où $φ$ est la fonction indicatrice d'Euler et $mod$ désigne la congruence sur les entiers.

Leonhard Euler (1753)

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où $n$ est un nombre premier.

Il se démontre en remarquant que l'exposant $λ (n)$ (appelé l'indicatrice de Carmichael de $n$ ) du groupe (ℤ/ $n$ ℤ)^× des inversibles de l'anneau ℤ/ $n$ ℤ est un diviseur de l'ordre $φ (n)$ de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis, se déduit du théorème de Lagrange sur les groupes).

Il permet la réduction modulo $n$ de puissances. Par exemple, si l'on veut trouver le chiffre des unités de 7²²², c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7²²² modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que $φ (10) = 4$ . Le théorème d'Euler nous indique donc que $7^{4}\equiv 1{\pmod {10}}.$ On en déduit que $7^{222}\equiv 7^{4\times 55+2}\equiv (7^{4})^{55}\times 7^{2}\equiv 1^{55}\times 7^{2}\equiv 49\equiv 9{\pmod {10}}.$ Le chiffre recherché est donc 9.

Autre démonstration

Il existe de nombreuses démonstrations de ce théorème. On a déjà fourni ci-dessus celle qui généralise la preuve du petit théorème de Fermat par le théorème de Lagrange. On peut de même généraliser la démonstration arithmétique élémentaire :

Soient $n > 0$ et $a$ un entier premier avec $n$ . Notons ${\overline {a}}$ la classe modulo $n$ d'un entier $a$ , en particulier ${\overline {a}}\in \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }$ .

La bijection $\left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }\to \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times },\;x\mapsto {\overline {a}}x$ permet de réécrire le produit $P:=\prod _{x\in \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }}x$ :

P\;=\prod _{x\in \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }}\left({\overline {a}}x\right)=\;{\overline {a}}^{\operatorname {Card} \left(\left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }\right)}P\;={\overline {a}}^{\varphi (n)}P

On conclut en simplifiant par l'inversible $P$ :

{\overline {1}}={\overline {a}}^{\varphi (n)}={\overline {a^{\varphi (n)}}}

Référence

(la) L. Euler, « Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata », Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petrop., vol. 8,‎ 1763, p. 74-104 (lire en ligne) (E271, écrit en 1758 et présenté en 1760).

Voir aussi

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