Théorème ATS

En mathématiques, le théorème ATS est le théorème sur l'approximation d'une somme trigonométrique par une autre plus courte. L'application du théorème ATS est utile dans de nombreux problèmes de physique théorique mathématique.

Historique du problème

Dans certains domaines des mathématiques et physique mathématique, les sommes de la forme

S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}\qquad (1)

sont étudiées, où $\varphi (x)$ et $f(x)$ sont des fonctions à valeurs réelles. De telles sommes apparaissent, par exemple, en théorie des nombres dans l'analyse de la fonction zêta de Riemann, dans la résolution de problèmes liés aux points entiers dans les domaines du plan et dans l'espace, dans l'étude des séries de Fourier, et dans la solution d'équation différentielle telles que l'équation des ondes, l'équation de potentiel, l'équation de la chaleur.

Le problème d'approximation de la série (1) par une fonction convenable a déjà été étudié par Euler et Poisson.

On définira la longueur de la somme $S$ comme le nombre $b-a$ (pour les entiers $a$ et $b,$ c'est le nombre de termes dans $S$ ).

Sous certaines conditions sur $\varphi (x)$ et $f(x)$ la somme $S$ peut être remplacé avec une bonne précision par une autre somme $S_{1},$

S_{1}=\sum _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k)e^{2\pi iF(k)},\ \ \ (2)

où la longueur $\beta -\alpha$ est bien inférieur à $b-a.$

Des relations de la forme

S=S_{1}+R,\qquad (3)

où $S,$ $S_{1}$ sont respectivement les sommes (1) et (2), $R$ est un reste, avec des fonctions $\varphi (x)$ et $f(x)$ bien choisies, ont été obtenus par G. H. Hardy et J. E. Littlewood[1] - [2] - [3], lorsqu'ils ont déduit une équation fonctionnelle approximative pour la fonction zêta de Riemann $\zeta (s)$ et par I. M. Vinogradov[4], dans l'étude des quantités de points entiers dans les domaines du plan. Sous sa forme générale le théorème a été démontré par J. Van der Corput[5] - [6], (sur les résultats récents liés au théorème de Van der Corput on peut lire en [7]).

Dans chacun des ouvrages mentionnés ci-dessus, certaines restrictions sur les fonctions $\varphi (x)$ et $f(x)$ ont été imposées. Avec des restrictions pratiques (pour les applications) sur $\varphi (x)$ et $f(x),$ le théorème a été prouvé par A. A. Karatsuba dans [8] (voir aussi [9] - [10]).

Théorème ATS

Notations

1. Pour $B>0,B\to +\infty ,$ ou $B\to 0,$ la notation $1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1$ signifie qu'il existe des constantes $C_{1}>0$ et $C_{2}>0,$ telles que $C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.$

2. Pour un nombre réel $\alpha ,$ la notation $\|\alpha \|$ désigne la distance au plus proche entier $\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \})$ .

Enoncé

Soient les fonctions réelles ƒ(x) et $\varphi (x)$ définies sur le segment [a, b] satisfaisants les conditions suivantes :

1) $f''''(x)$ et $\varphi ''(x)$ sont continues ;

2) il existe des nombres $H,$ $U$ et $V$ tels que

H>0,\qquad 1\ll U\ll V,\qquad 0<b-a\leq V

{\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x)\ll H,\\\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\\\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\\\end{array}}

On définit les réels $x_{\mu }$ par l'équation

f'(x_{\mu })=\mu ,

Alors

\sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,

où

R=O\left({\frac {HU}{b-a}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);

T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{si }}f'(j){\text{ est un entier}};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{si }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\end{cases}}

$j=a,b;$

C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{si }}f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}},&{\text{si }}\mu =f'(a){\text{ ou }}\mu =f'(b);\\\end{cases}}

Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .

La variante la plus simple du théorème ATS est le lemme de Van der Corput.

Lemme de Van der Corput

Soit $f(x)$ une fonction réelle dérivable sur l'intervalle $a<x\leq b,$ avec $f'(x)$ monotone de signe constant, et soit une constante $\delta$ telle que $0<\delta <1$ satisfait l'inégalité $|f'(x)|\leq \delta .$ Alors

\sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),

où $|\theta |\leq 1.$

Si les paramètres $a$ et $b$ sont des nombres entiers, alors il est possible de substituer la dernière relation par les suivantes :

\sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}\,dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},

où $|\theta |\leq 1.$

Sur les applications de l'ATS aux problèmes de physique, voir [11] - [12] et [13] - [14].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « ATS theorem » (voir la liste des auteurs).

Hardy et Littlewood, « Some problems of diophantine approximation: Part II. The trigonometrical series associated with the elliptic ϑ-functions », Acta Mathematica, International Press of Boston, vol. 37,‎ 1914, p. 193–239 (ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/bf02401834)
Hardy et Littlewood, « Contributions to the theory of the riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes », Acta Mathematica, International Press of Boston, vol. 41,‎ 1916, p. 119–196 (ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/bf02422942)
Hardy et Littlewood, « The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line », Mathematische Zeitschrift, Springer Science and Business Media LLC, vol. 10, n^os 3–4,‎ 1921, p. 283–317 (ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/bf01211614, lire en ligne)
I. M. Vinogradov. On the average value of the number of classes of purely root form of the negative determinant Communic. of Khar. Math. Soc., 16, 10–38 (1917).
(de) van der Corput, « Zahlentheoretische Abschätzungen », Mathematische Annalen, Springer Science and Business Media LLC, vol. 84, n^os 1–2,‎ 1921, p. 53–79 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/bf01458693)
(de) van der Corput, « Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem », Mathematische Annalen, Springer Science and Business Media LLC, vol. 87, n^os 1–2,‎ 1922, p. 39–65 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/bf01458035)
Hugh Montgomery, Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis, Providence, R.I, Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society, 1994 (ISBN 978-0-8218-0737-8, OCLC 30811108)
Karatsuba, « Approximation of exponential sums by shorter ones », Proceedings of the Indian Academy of Sciences, Section A, Springer Science and Business Media LLC, vol. 97, n^os 1–3,‎ 1987, p. 167–178 (ISSN 0370-0089, DOI 10.1007/bf02837821)
A. A. Karatsuba, S. M. Voronin. The Riemann Zeta-Function. (W. de Gruyter, Verlag: Berlin, 1992).
A. A. Karatsuba, M. A. Korolev. The theorem on the approximation of a trigonometric sum by a shorter one. Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. 71:3, p. 63—84 (2007).
Karatsuba, « Approximation of sums of oscillating summands in certain physical problems », Journal of Mathematical Physics, AIP Publishing, vol. 45, n^o 11,‎ 2004, p. 4310–4321 (ISSN 0022-2488, DOI 10.1063/1.1797552)
Karatsuba, « On an approach to the study of the Jaynes–Cummings sum in quantum optics », Numerical Algorithms, Springer Science and Business Media LLC, vol. 45, n^os 1–4,‎ 20 juillet 2007, p. 127–137 (ISSN 1017-1398, DOI 10.1007/s11075-007-9070-x)
Chassande-Mottin et Pai, « Best chirplet chain: Near-optimal detection of gravitational wave chirps », Physical Review D, American Physical Society (APS), vol. 73, n^o 4,‎ 27 février 2006, p. 042003 (ISSN 1550-7998, DOI 10.1103/physrevd.73.042003)
Fleischhauer et Schleich, « Revivals made simple: Poisson summation formula as a key to the revivals in the Jaynes-Cummings model », Physical Review A, American Physical Society (APS), vol. 47, n^o 5,‎ 1^er mai 1993, p. 4258–4269 (ISSN 1050-2947, PMID 9909432, DOI 10.1103/physreva.47.4258)

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