Système à minimum de phase

Un système à minimum de phase a la propriété d'être le système qui, à une réponse en gain fixée, minimise le temps de propagation de groupe sur l'ensemble des fréquences.

Le déphasage à une pulsation ${\displaystyle \omega }$ est - à l'ajout d'une constante près - la somme des contributions de chaque zéro de ${\displaystyle H(z)}$. Soit ${\displaystyle a}$ un de ces zéros de module différent de 1, regardons de plus près sa contribution au temps de propagation de groupe. On note

${\displaystyle a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\mbox{ où }}\,\theta _{a}={\mbox{Arg}}(a).}$

${\displaystyle a}$ apparaît dans la fonction de transfert par le facteur ${\displaystyle 1-az^{-1}=1-ae^{-i\omega }}$, dont la phase est

${\displaystyle \phi _{a}\left(\omega \right)={\mbox{Arg}}\left(1-ae^{-i\omega }\right)}$

${\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a})+i|a|\sin(\omega -\theta _{a})\right).}$

En dérivant l'arc tangente, on obtient que ${\displaystyle \phi _{a}(\omega )}$ contribue au temps de propagation de groupe par :

${\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}=-{\frac {(1-2|a|\cos(\omega -\theta _{a}))^{2}}{(1-2|a|\cos(\omega -\theta _{a}))^{2}+|a|^{2}\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})}}{\frac {a\cos(\omega -\theta _{a})(1-a\cos(\omega -\theta _{a}))-a^{2}\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})}{(1-2|a|\cos(\omega -\theta _{a}))^{2}}}}$

${\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {|a|^{2}-|a|\cos(\omega -\theta _{a})}{|a|^{2}+1-2|a|\cos(\omega -\theta _{a})}}}$

${\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {|a|-\cos(\omega -\theta _{a})}{|a|+|a|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}}$

Le dénominateur et ${\displaystyle \theta _{a}}$ restent inchangés par réflexion, c'est-à-dire en remplaçant ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle (a^{-1})^{*}}$ (les réflexions des zéros de ${\displaystyle H(z)}$ permettent d'obtenir les autres fonctions de transfert ayant la même réponse en gain). Il y a deux possibilités selon que ${\displaystyle a}$ se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur du disque unité : le choix ${\displaystyle |a|<1}$ permet de minimiser le temps de propagation de groupe.

Illustration du calcul ci-dessus. Ce graphique montre la réponse de deux filtres ayant le même gain (à gauche : le diagramme de Nyquist, à droite : la réponse en phase). Le filtre représenté en haut avec ${\displaystyle a=0.8<1}$ est à minimum de phase, il a la plus petite amplitude pour la réponse en phase.

Un système à minimum de phase répond à une impulsion en concentrant l'énergie près de 0. Pour une réponse en gain fixée, le système à minimum de phase est celui qui minimise :

${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}}$

pour n'importe quel ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ (${\displaystyle h}$ est la réponse impulsionnelle).