Symbole somme

La commutativité et l'associativité de l'addition font que le résultat d'une suite (finie) d'additions ne dépend pas de l'ordre dans lequel les termes sont donnés. La somme d'une famille finie d'éléments ${\displaystyle (u_{i})}$ indexée par un ensemble ${\displaystyle I}$ (pas nécessairement ordonné) se note alors ${\displaystyle \sum _{i\in I}{u_{i}}}$.

Lorsque l'ensemble d'indices est un intervalle d'entiers, il est courant de noter le premier indice sous le symbole somme et le dernier au-dessus. On trouve alors les notations :

${\displaystyle \sum _{i\in [[p;q]]}{u_{i}}=\sum _{i=p}^{i=q}{u_{i}}=\sum _{i=p}^{q}{u_{i}}.}$

Le nombre de termes est alors ${\displaystyle q-p+1}$, le premier terme étant ${\displaystyle u_{p}}$ et le dernier ${\displaystyle u_{q}}$.

La somme des carrés des six premiers entiers strictement positifs s'écrit ainsi

${\displaystyle \sum _{i=1}^{6}{i^{2}}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}.}$

Lorsque la famille décrit un ensemble fini ${\displaystyle A}$, la somme peut aussi s'écrire

${\displaystyle \sum _{x\in A}{x}=\sum A,}$

la somme vide étant conventionnellement prise égale à zéro, afin de satisfaire l'égalité

${\displaystyle \sum {A\cup B}=\sum A+\sum B-\sum {A\cap B}.}$

La notation d'Einstein omet simplement l'écriture du symbole somme. Il est sous-entendu dès qu'un indice apparaît sans définition.

Si ${\displaystyle (u_{n})}$ est une suite, la somme totale des termes de la suite est la limite des sommes partielles si elle existe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\lim _{N\rightarrow +\infty }\sum _{n=0}^{N}u_{n}}$.

Le caractère utilisé est distinct de la lettre grecque majuscule Σ (sigma).