Surface réglée standard

On définit d'abord des ${\displaystyle k}$-courbes :

${\displaystyle C_{o}}$ la courbe de trace ${\displaystyle {Z=0}}$ sur ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle Z'=0}$ sur ${\displaystyle V',}$

${\displaystyle X_{o}}$ la courbe de trace ${\displaystyle {X=0}}$ sur ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle X'=0}$ sur ${\displaystyle V'}$.

Pour tout ${\displaystyle t\in P_{1}({\overline {k}}),}$ (la clôture algébrique de k), on note ${\displaystyle E_{t}}$ la fibre de ${\displaystyle \rho }$ au-dessus de ${\displaystyle t.}$

On observe en second lieu qu'il s'agit de courbes géométriquement intègres, dont on peut calculer les intersections.

Intersections des k-courbes

• Les courbes ${\displaystyle C_{o},X_{o}}$ et, pour tout ${\displaystyle t\in P_{1}(k),}$ la fibre ${\displaystyle E_{t}}$ sont des ${\displaystyle k-}$courbes géométriquement intègres.
• De plus ${\displaystyle X_{o}.C_{o}=0}$, ${\displaystyle C_{o}^{2}=-m}$ et
• Pour tout ${\displaystyle t,t'\in {P_{1}(k)},}$ on a ${\displaystyle X_{o}.E_{t}=C_{o}.E_{t}=1,\ E_{t}.E_{t'}=0.}$

Ces résultats proviennent essentiellement du fait suivant : Le diviseur de la fonction de ${\displaystyle k(F_{m})}$ définie par ${\displaystyle {X \over Z}={X' \over Z'T'^{m}}}$ est ${\displaystyle X_{o}-mE_{\infty }-C_{o},}$ ainsi ${\displaystyle C_{o}.(X_{o}-mE_{\infty }-C_{o})=0-m-C_{o}^{2}=0}$ et donc ${\displaystyle C_{o}^{2}=-m.}$

Définition d'une base des diviseurs

On note ${\displaystyle f}$ la classe des diviseurs de la fibre ${\displaystyle E_{\infty }}$ et ${\displaystyle c_{o}}$ la classe de la courbe ${\displaystyle C_{o}}$.

Par commodité, on note ${\displaystyle h=c_{0}+mf}$ de sorte que ${\displaystyle h^{2}=m}$ ; ${\displaystyle f^{2}=0}$ ; ${\displaystyle fh=1}$ ;

Une description classique du groupe des diviseurs montre alors que ${\displaystyle Pic(F_{m}\times _{k}{\overline {k}})={\mathbb {Z} }h\oplus {\mathbb {Z} }f}$.

Enfin on calcule sans difficulté la classe canonique ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle F_{m}}$ en explicitant une ${\displaystyle 2-}$forme sur ${\displaystyle F_{m}}$. On obtient ${\displaystyle K=-2h+(m-2)f.}$

Voici une représentation concrète des surfaces réglées standard dans lesquelles le calcul du groupe de Picard s'effectue de façon relativement immédiate[1].

Pour toutes ces surfaces, il est isomomorphe à ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$. Cela se comprend intuitivement, les générateurs de ce groupe étant donnés par exemple par les diviseurs ${\displaystyle T=0}$, qui est celui d'une fibre et par le diviseur de restriction ${\displaystyle Z=0}$ sur la carte ${\displaystyle U}$.

Connaissant la classe des diviseurs (dans le groupe de Picard, ) associée à une courbe tracée sur la surface réglée, on peut donc aisément en donner le genre arithmétique d'une courbe.

Si ${\displaystyle P(T)}$ désigne un polynôme de degré ${\displaystyle 2m}$ sans facteur multiple, on note ${\displaystyle P^{*}(T')}$ le polynôme réciproque de ${\displaystyle P}$.

La courbe ${\displaystyle R}$ définie par sa trace sur ${\displaystyle V}$ par l'équation cartésienne

${\displaystyle X^{2}=P(T)Z^{2}}$ et par l'équation ${\displaystyle X'^{2}=P^{*}(T')Z'^{2}}$ sur la seconde carte

a pour classe de Picard associée : ${\displaystyle r=2h}$ et pour genre arithmétique : ${\displaystyle g_{a}(r)=m-1}$.

Plus généralement, on peut lire assez facilement sur l'équation cartésienne de la trace d'une courbe dans l'ouvert ${\displaystyle V}$, sa classe de Picard, et son genre.

• (en) Robin Hartshorne, Algebraic Geometry [détail des éditions]
• (en) David A. Cox, John Little et Don O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms : an introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra, New York, Springer-Verlag, 2007, 3^e éd. (ISBN 978-0-387-35651-8, lire en ligne)
• (en) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, New York, Springer-Verlag, coll. « GTM » (n^o 150), 2004, 2^e éd. (1^re éd. 1995), 785 p. (ISBN 978-0-387-94269-8, lire en ligne)