Superalgèbre de Lie

Une superalgèbre de Lie ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{0}\oplus {\mathcal {A}}_{1}}$ est une superalgèbre non associative sur un anneau K (habituellement R ou C).

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}}$ correspond à la partie paire de la superalgèbre et ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ à la partie impaire. Les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ sont dits homogènes de degré ${\displaystyle i}$. À l'inverse, les éléments qui sont composés d'une partie paire et d'une partie impaire sont dits non homogènes. Ainsi, on définit l'opération ${\displaystyle |\cdot |:{\mathcal {A}}_{0}\cup {\mathcal {A}}_{1}\to \{0,1\}}$ tel que ${\displaystyle |x|\mapsto {\begin{cases}0\quad {\text{si}}\quad x\in {\mathcal {A}}_{0}\\1\quad {\text{si}}\quad x\in {\mathcal {A}}_{1}\end{cases}}}$ pour noter le degré d'un élément homogène.
• Le produit interne bilinéaire d'une superalgèbre de Lie est noté ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ et nommé super-crochet de Lie ou super-commutateur. Il doit respecter les deux conditions suivantes :
  • Super anti-symétrie:
    ${\displaystyle \forall x,y\in {\mathcal {A}}_{0}\cup {\mathcal {A}}_{1}\quad [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x]}$
  • Super-relation de Jacobi
    ${\displaystyle \forall x,y,z\in {\mathcal {A}}_{0}\cup {\mathcal {A}}_{1}\quad (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0}$

• ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {A}}_{0}\quad [x,x]=0}$
• ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {A}}_{1}\quad [[x,x],x]=0}$
• ${\displaystyle |[x,y]|=|x|+|y|\mod 2}$

Soient ${\displaystyle J_{0}\in {\mathcal {A}}_{0}}$, ${\displaystyle J_{+}\in {\mathcal {A}}_{1}}$ et ${\displaystyle J_{-}\in {\mathcal {A}}_{1}}$ tels que :

• ${\displaystyle [J_{0},J_{+}]=J_{+}}$
• ${\displaystyle [J_{0},J_{-}]=-J_{-}}$
• ${\displaystyle [J_{+},J_{-}]=2J_{0}}$

Alors l'ensemble ${\displaystyle \{a\cdot J_{0}+b\cdot J_{+}+c\cdot J_{-}|a,b,c\in \mathbb {C} \}}$, muni du super-crochet de Lie défini par sa bilinéarité et par les produits de ${\displaystyle J_{0}}$, ${\displaystyle J_{+}}$ et ${\displaystyle J_{-}}$, forme la superalgèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(1|2)}$.

• Représentation d'une superalgèbre de Lie (en)
• Superalgèbre
• Algèbre graduée
• Algèbre de Lie
• Relation de Jacobi