Structure presque complexe
En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure d'espace vectoriel complexe sur chaque espace tangent.
Définition formelle
Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, c'est-à -dire une section globale du fibré vectoriel , vérifiant :
Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.
ThéorÚme : L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire, disons 2n. De plus, il existe une unique orientation sur M telle que ...
Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientée. Mais cette condition à elle seule ne suffit pas :
ThéorÚme : L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle de dimension paire orientable équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de à .
Exemples
Les seules sphĂšres Ă admettre une structure presque complexe sont :
- La sphĂšre , vue comme le compactifiĂ© de â.
- La sphÚre , vue comme la sphÚre unité des octonions imaginaires.
Formes différentielles
AlgÚbre linéaire : un opérateur linéaire vérifiant l'identité se réduit sur . Il admet deux espaces propres, et , de valeurs propres respectives et .
Structures presque complexes :
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Les formes différentielles sont les sections des produits extérieurs du fibré cotangent.
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Voir aussi
- Structure hermitienne
- AlgÚbre linéaire
- Géométrie symplectique
- Structure presque quaternionique