Spirale de Poinsot

Les spirales de Poinsot regroupent plusieurs spirales dont l'équation polaire s'exprime à l'aide d'inverses de fonctions hyperboliques. Le nom de ces spirales fait référence au mathématicien Louis Poinsot qui a rencontré l'une d'entre elles comme cas particulier d'herpolhodie, en 1851 [1].

Type borné ρ cosh(θ/3)=1.

Type asymptotique ρ sinh(θ/3)=1..

Logarithmique ρ = 1,19^θ

Selon les auteurs, cette famille de spirales est plus ou moins large. Certains[2] considèrent comme étant une spirale de Poinsot toute spirale dont l'équation polaire s'écrit:

\rho ={\frac {A}{a\cosh(k\theta )+b\sinh(k\theta )}}

avec a² + b² non nul

Cette famille regroupe trois sous-familles:

celle pour lesquelles |a | > |b|, courbes bornées toutes semblables dont des représentants sont les courbes d'équation polaire $\rho ={\frac {C}{\cosh(k\theta )}}$
celle pour lesquelles |a| < |b|, courbes possédant une asymptote dont les représentants sont les courbes d'équation polaire $\rho ={\frac {C}{\sinh(k\theta )}}$
celle pour lesquelles |a| = |b|, qui regroupe toutes les spirales logarithmiques.

D'autres auteurs[3]excluent de cette famille les spirales logarithmes ne conservant que les spirales de type borné $\rho ={\frac {C}{\cosh(k\theta )}}$ ou asymptotique $\rho ={\frac {C}{\sinh(k\theta )}}$ .

D'autres enfin[4] ne conservent que la spirale de type borné.

Les spirales de Poinsot font partie des spirales de Cotes[2].

Spirale de Poinsot de type borné

Son équation polaire se ramène à $\rho \cosh(k\theta )=C$ .

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que[5]:

\tan \alpha =k\tanh(k\theta )

Le rayon de courbure a pour valeur[6] :

R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\tanh ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}

La courbe de Poinsot bornée est la projection sur l'équateur d'une loxodromie de la sphère[2].

Spirale de Poinsot de type asymptotique

Son équation polaire se ramène à $\rho \sinh(k\theta )=C$ .

Elle possède une asymptote d'équation y= K/k.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que[7]:

\tan \alpha =k\coth(k\theta )

Le rayon de courbure a pour valeur[7]:

R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\coth ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}

Voir aussi

Les spirales de Cotes, qui englobent les spirales de Poinsot.

Notes et références

Louis Poinsot, « Théorie nouvelle de la rotation des corps », Journal de mathématiques pures et appliquées 1re série, vol. 16,‎ 1851 (lire en ligne)
MathcurvePoinsot.
Tavares 2006, p. 66.
Teixeira 1909.
Formule déduite de Tavares 2006, p. 93 donnant la tangente de l'angle que fait la tangente avec le vecteur radial
Formule déduite de Tavares 2006, p. 149
Formules déduites des précédentes en remplaçant cosh et sinh par sinh et cosh

Bibliographie

Francisco Gomes Teixeira, Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, t. 2, 1909
(pt) Dina dos Santos Tavares, As espirais na Obra de Francisco Gomes Teixeira, Universidade de Aveiro, 2006 (lire en ligne)
Robert Ferreol, « Spirale de Poinsot », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2014 (consulté le 20 novembre 2018)

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