Sous-espace affine engendré

Dans un espace affine, l'intersection d'une famille (non vide) de sous-espaces affines est soit l'ensemble vide, soit un sous-espace affine[1] et l'espace lui-même est un sous-espace, ce qui justifie la définition suivante :

Soit ${\displaystyle E}$ un espace affine. Pour toute partie non vide ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle E}$, il existe un plus petit sous-espace affine de ${\displaystyle E}$ contenant ${\displaystyle A}$ : l'intersection de tous les sous-espaces affines de ${\displaystyle E}$ contenant ${\displaystyle A}$[1].

On l'appelle le sous-espace affine engendré par ${\displaystyle A}$, et on le note souvent ${\displaystyle \operatorname {Aff} (A)}$[1] ou ${\displaystyle \operatorname {aff} (A)}$[2], ou encore ${\displaystyle \operatorname {aff} A}$[3].

Soient ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ des espaces affines et ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ deux parties non vides de ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle C}$ une partie non vide de ${\displaystyle F}$.

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (A)}$ est égal à l'ensemble des barycentres des points de ${\displaystyle A}$[4].
• Si ${\displaystyle f:E\to F}$ est une application affine alors ${\displaystyle f(\operatorname {aff} (A))=\operatorname {aff} (f(A))}$[5].
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (B)\times \operatorname {aff} (C)=\operatorname {aff} (B\times C)}$ (dans l'espace affine produit ${\displaystyle E\times F}$).
• ${\displaystyle A}$ et son enveloppe convexe engendrent le même sous-espace affine.
• Pour tout point ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle A}$, la direction de ${\displaystyle \operatorname {aff} (A)}$ est le sous-espace vectoriel engendré (dans l'espace vectoriel associé à ${\displaystyle E}$) par ${\displaystyle \{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in A\}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {aff} }$ est un opérateur de clôture : ${\displaystyle A\subset \operatorname {aff} (A)}$, ${\displaystyle A\subset B\Rightarrow \operatorname {aff} (A)\subset \operatorname {aff} (B)}$, et ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} (A))=\operatorname {aff} (A)}$.