Somme aléatoire

Soit ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ des variables aléatoires réelles i.i.d et ${\displaystyle N}$ une variable aléatoire entière indépendante de ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ On définit la somme aléatoire ${\displaystyle S}$ de la manière suivante :

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

en convenant qu'une somme vide est nulle.

Dans le cas particulier où ${\displaystyle N}$ suit une loi de Poisson on dira que ${\displaystyle S}$ suit une loi de Poisson composée.

• Si ${\displaystyle N}$ et les ${\displaystyle X_{i}}$ ont une espérance finie, alors ${\displaystyle S}$ aussi et on a la formule ${\displaystyle \mathbb {E} [S]=\mathbb {E} [X_{1}]\mathbb {E} [N]}$.
• Si ${\displaystyle N}$ et les ${\displaystyle X_{i}}$ ont une variance finie, alors ${\displaystyle S}$ aussi et on a la formule ${\displaystyle V(S)=\mathbb {E} [N]V(X_{1})+\mathbb {E} [X_{1}]^{2}V(N)}$.
• Si les ${\displaystyle X_{i}}$ sont à valeurs entières positives alors les fonctions génératrices des probabilités satisfont ${\displaystyle G_{S}=G_{N}\circ G_{X_{1}}}$ où ${\displaystyle \circ }$ désigne la composition de fonctions. Cette relation explique l'origine de l'appellation « loi composée ».

Chez certains auteurs[7] - [6], le terme « loi composée » peut aussi désigner le concept, proche mais néanmoins différent, de « loi de mélange ». Pour éviter ces confusions les mathématiciens C. Chatfield et C. M. Theobald[1] préconisent d'abandonner l'utilisation du terme « loi composée » et de n'utiliser que les termes « loi de mélange » et « somme aléatoire » qui sont bien plus explicites. D'autres mathématiciens ont également remarqué cette confusion dans la terminologie[8] - [9].

Cette confusion viendrait en partie du changement de terminologie dans les publications et livres du mathématiciens William Feller[2] - [10]. En effet ce dernier a d'abord utilisé le terme « loi composée » pour désigner à la fois le concept de « loi de mélange » et aussi de « somme aléatoire ». Il a ensuite opté pour ces deux dernières dénominations pour clarifier la distinction.

La loi d'une somme aléatoire peut se voir comme un cas particulier d'une loi de mélange. En effet si ${\displaystyle F_{n}}$ désigne la fonction de répartition de ${\displaystyle X_{1}+\dots +X_{n}}$ alors on a que la fonction de répartition ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle S}$ vérifie

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(t)\mathbb {P} (N=n)}$.