Second graphe de Royle

Le diamètre du second graphe de Royle, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 4-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 4 sommets ou de 4 arêtes.

Le nombre chromatique du second graphe de Royle est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du second graphe de Royle est 6. Il existe donc une 6-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe, en fonction du nombre de couleurs autorisé. Cela donne une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifié de polynôme chromatique. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3 et est de degrés 8. Il est égal à : ${\displaystyle (x-2)(x-1)x(x^{5}-15x^{4}+95x^{3}-314x^{2}+537x-377)}$.

Le groupe d'automorphismes du second graphe de Royle est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du second graphe de Royle est : ${\displaystyle (x-1)(x+1)(x^{6}-17x^{4}-22x^{3}+15x^{2}+10x-1)}$.

• Théorie des graphes
• Premier graphe de Royle

• (en) Eric W. Weisstein, Royle Graphs (MathWorld)