Schéma intègre

On dit qu'un schéma ${\displaystyle X}$ est réduit si pour tout ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle X}$, l'anneau des fonctions régulières ${\displaystyle O_{X}(U)}$ est réduit. Cela est équivalent à dire que les anneaux locaux ${\displaystyle O_{X,x}}$ sont réduits pour tout point ${\displaystyle x}$. Ou encore qu'il existe un recouvrement de ${\displaystyle X}$ par des ouverts affines ${\displaystyle \mathrm {Spec} A_{i}}$ avec ${\displaystyle A_{i}}$ réduits.

Soit ${\displaystyle f\in O_{X}(X)}$ une fonction régulière sur ${\displaystyle X}$. On considère ${\displaystyle f}$ comme une fonction de ${\displaystyle X}$ vers un domaine universel qui contient tous les corps résiduels ${\displaystyle k(x),\ x\in X}$ (à ${\displaystyle x}$ on associe l'image de ${\displaystyle f}$ par ${\displaystyle O_{X}(X)\to O_{X,x}\to k(x)}$). Si ${\displaystyle X}$ est réduit, alors cette fonction est identiquement nulle si et seulement si ${\displaystyle f=0}$.

On dit que ${\displaystyle X}$ est intègre s'il est irréductible et réduit. C'est équivalent à dire que pour tout ouvert affine ${\displaystyle U=\mathrm {Spec} A}$ de ${\displaystyle X}$, l'anneau ${\displaystyle A}$ est intègre. Lorsque ${\displaystyle X}$ est localement noethérien, c'est encore équivalent à ${\displaystyle X}$ connexe et que les anneaux locaux ${\displaystyle O_{X,x}}$ sont intègres.

Sur un schéma intègre ${\displaystyle X}$, les anneaux de fonctions régulières ${\displaystyle O_{X}(U)}$ sont intègres pour tout ouvert ${\displaystyle U}$, et les applications de restrictions ${\displaystyle O_{X}(U)\to O_{X}(V)}$ sont injectives pour tout ouvert ${\displaystyle V}$ contenu dans ${\displaystyle U}$.

Exemple Un schéma affine ${\displaystyle \mathrm {Spec} A}$ est intègre si et seulement si l'anneau ${\displaystyle A}$ est intègre.

Soit ${\displaystyle X}$ un schéma intègre. On pose

${\displaystyle K(X)=\lim _{U}O_{X}(U)}$

la limite inductive sur les ${\displaystyle O_{X}(U)}$ de tous les ouverts non-vides ${\displaystyle U}$ (les applications de transition sont les applications de restriction). Pour tout ouvert affine ${\displaystyle U}$ non-vide, le morphisme canonique ${\displaystyle O_{X}(U)\to K(X)}$ induit un isomorphisme de ${\displaystyle K(X)}$ avec le corps des fractions ${\displaystyle \mathrm {Frac} (O_{X}(U))}$. On appelle les éléments de ${\displaystyle K(X)}$ les fonctions rationnelles (et parfois des fonctions méromorphes) sur ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle K(X)}$ le corps des fonctions rationnelles sur X (en).

Concrètement, une fonction rationnelle sur ${\displaystyle X}$ est (la classe d') une fonction régulière ${\displaystyle f}$ sur un ouvert dense ${\displaystyle U}$; deux fonctionns rationnelles ${\displaystyle (f,U),(g,V)}$étant considérées comme identique si ${\displaystyle f=g}$ sur ${\displaystyle U\cap V}$.

Étant donné une fonction rationnelle ${\displaystyle f}$, l'ensemble des points ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle f}$ soit régulière dans un voisinage de ${\displaystyle x}$ est le plus grand ouvert sur lequel ${\displaystyle f}$ est régulière. Sur un schéma noethérien normal, le complémentaire de cet ouvert est vide ou de codimension 1, et c'est le support du diviseur de pôles de ${\displaystyle f}$.

On vient de voir que ${\displaystyle K(X)}$ est isomorphe à ${\displaystyle \mathrm {Frac} (O_{X}(U))}$ pour tout ouvert affine ${\displaystyle U}$. Si ${\displaystyle \eta }$ est le point générique (ceci n'est pas valable pour les variétés algébriques) de ${\displaystyle X}$, alors ${\displaystyle K(X)}$ est canoniquement isomorphe à l'anneau local ${\displaystyle O_{X,\eta }}$.

Si ${\displaystyle U}$ est un ouvert dense de ${\displaystyle X}$, alors on a canoniquement ${\displaystyle K(X)=K(U)}$.

Exemples

• Les corps des fonctions rationnelles sur ${\displaystyle \mathrm {Spec} (k[T])}$ et ${\displaystyle \mathrm {Proj} (k[T_{0},T_{1}])}$ sont isomorphes à ${\displaystyle k(T)}$.
• Si ${\displaystyle f(T)\in k[T]}$ est un polynôme non-constant et qui n'est pas un carré, et si ${\displaystyle k}$ est de caractéristique différente de 2, alors ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (k[T,S]/(S^{2}-f(T)))}$ est intègre, son corps des fonctions rationnelles est l'extension quadratique ${\displaystyle k(T)[s]}$ de ${\displaystyle k(T)}$ définie par la relation ${\displaystyle s^{2}=f(T)}$.

Si ${\displaystyle X}$ est de type fini sur un corps ${\displaystyle k}$, alors ${\displaystyle k(X)}$ est une extension de type fini de ${\displaystyle k}$, de degré de transcendance ${\displaystyle \dim X}$. C'est un corps de fonctions sur ${\displaystyle k}$.

Soient ${\displaystyle X}$ un schéma intègre et ${\displaystyle Y}$ un schéma séparé. Deux morphismes ${\displaystyle U\to Y}$, ${\displaystyle V\to Y}$ définis sur des ouverts denses de ${\displaystyle X}$ sont dits équivalents s'ils coïncident sur ${\displaystyle U\cap V}$. Comme ${\displaystyle Y}$ est séparé, il suffit qu'ils coïncident sur un ouvert dense contenu dans ${\displaystyle U\cap V}$. Cette relation est alors une relation d'équivalence.

Une application rationnelle de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$, qu'on note ${\displaystyle \phi :X--\to Y}$ (une flèche pointillée), est une classe d'équivalence de morphismes ${\displaystyle U\to Y}$. Si un morphisme ${\displaystyle U\to Y}$ est dans la classe ${\displaystyle \phi }$, on dit que ${\displaystyle \phi }$ est définie sur ${\displaystyle U}$. En prenant la réunion de tous les ouverts où ${\displaystyle \phi }$ est définie, on obtient le plus grand ouvert ${\displaystyle \Omega }$ où ${\displaystyle \phi }$ est définie: c'est le domaine de définition de ${\displaystyle \phi }$.

Soit ${\displaystyle X}$ un schéma intègre de type fini sur un corps ${\displaystyle k}$. Soit ${\displaystyle f\in K(X)}$ une fonction rationnelle et soit ${\displaystyle \Omega }$ le plus grand ouvert sur lequel ${\displaystyle f}$ est régulière. On a un morphisme ${\displaystyle \Omega \to \mathrm {Spec} (k[T])}$ correspondant au morphisme de ${\displaystyle k}$-algèbres ${\displaystyle k[T]\to O_{X}(\Omega )}$ qui envoie ${\displaystyle T}$ sur ${\displaystyle f}$. Comme ${\displaystyle \mathrm {Spec} (k[T])}$ est un ouvert de la droite projective ${\displaystyle {\mathbb {P} }_{k}^{1}}$, on obtient canoniquement un morphisme ${\displaystyle f:\Omega \to {\mathbb {P} }_{k}^{1}}$. Sa classe d'équivalence est donc une application rationnelle

${\displaystyle X--\to {\mathbb {P} }_{k}^{1}.}$

Si ${\displaystyle x\in \Omega (k)}$ est un point rationnel, cette application rationnelle envoie ${\displaystyle x}$ sur ${\displaystyle f(x)\in k\subset {\mathbb {P} }^{1}(k)}$. Inversement toute application rationnelle ${\displaystyle f:X--\to {\mathbb {P} }_{k}^{1}}$ provient d'une fonction rationnelle (considérer le morphisme ${\displaystyle f^{-1}({\mathbb {A} }_{k}^{1})\cap \Omega \to {\mathbb {A} }_{k}^{1}}$).

Ainsi a-t-on une correspondance bi-univoque entre les fonctions rationnelles sur ${\displaystyle X}$ et les applications rationnelles ${\displaystyle X--\to {\mathbb {P} }_{k}^{1}}$.

Un morphisme ${\displaystyle f:X\to Y}$ entre schémas intèges est dominant si le sous-ensemble ${\displaystyle f(X)}$ est dense dans ${\displaystyle Y}$. C'est équivalent à dire que le morphisme canonique de faisceaux ${\displaystyle O_{Y}\to f_{*}(O_{X})}$ est injectif. On en déduit immédiatement un morphisme des corps de fonctions rationnelles ${\displaystyle K(Y)\to K(X)}$. C'est une extension de corps.

Dans le langage des schémas, ${\displaystyle f}$ dominant se traduit par la propriété que ${\displaystyle f}$ envoie le point générique de ${\displaystyle X}$ sur celui de ${\displaystyle Y}$.

Exemples

• Tout morphisme surjectif est dominant. En particulier si le schéma d'arrivée ${\displaystyle Y}$ est réduit à un point (i.e. est égal au spectre d'un corps), alors ${\displaystyle f}$ est automatiquement dominant.
• Si ${\displaystyle \dim Y=1}$, alors ${\displaystyle f}$ est constant ou dominant.

Si ${\displaystyle f:X\to Y}$ est dominant et de type fini:

• l'extension ${\displaystyle K(X)/K(Y)}$ est de type fini;
• on dit que ${\displaystyle f:X\to Y}$ est birationnel si l'extension ${\displaystyle k(X)/k(Y)}$ est triviale (i.e. ${\displaystyle k(Y)\to K(X)}$ est un isomorphisme);
• si de plus ${\displaystyle X,Y}$ sont de type fini sur un corps ${\displaystyle k}$ et que ${\displaystyle f}$ est un morphisme de ${\displaystyle k}$-schémas, alors ${\displaystyle K(X)/K(Y)}$ est une extension de degré de transcendance ${\displaystyle \dim X-\dim Y}$. En particulier, si ${\displaystyle \dim X=\dim Y}$, alors ${\displaystyle K(X)/K(Y)}$ est une extension finie;
• si ${\displaystyle f}$ est projectif (par exemple si ${\displaystyle X,Y}$ sont projectifs sur un schéma ${\displaystyle S}$ et que ${\displaystyle f}$ est un morphisme de ${\displaystyle S}$-schémas), alors il est surjectif puisque ${\displaystyle f(X)}$ est fermé et dense dans ${\displaystyle Y}$.

Tout morphisme ${\displaystyle f:X\to Y}$ de schémas intègres se décompose en un morphisme dominant ${\displaystyle X\to Z}$ suivi d'une immersion fermée ${\displaystyle Z\to Y}$. Il suffit de prendre pour ${\displaystyle Z}$ la partie fermée ${\displaystyle {\overline {f(X)}}}$ de ${\displaystyle Y}$ munie de l'unique structure de sous-schéma fermé réduit (donc intègre puisqu'il est irréductible).

Si ${\displaystyle X,Y}$ sont de type fini sur un schéma ${\displaystyle S}$ et si ${\displaystyle \phi :X--\to Y}$ est une application rationnelle associée à des ${\displaystyle S}$-morphismes ${\displaystyle U\to Y}$, on dit que ${\displaystyle \phi }$ est une application birationnelle si ${\displaystyle \Omega \to Y}$ est dominant et si l'extension des corps de fonctions ${\displaystyle K(X)=K(\Omega )/K(Y)}$ est triviale. Cela implique qu'il existe un ouvert dense ${\displaystyle U\subseteq \Omega }$ tel que ${\displaystyle \phi }$ induise un isomorphisme de ${\displaystyle U}$ sur un ouvert dense de ${\displaystyle Y}$. Deux schémas intègres de type fini sur ${\displaystyle S}$ sont dits birationnels s'il existe une telle application birationnelle.

Il existe une façon canonique de rendre une application rationnelle définie partout.

Soit ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ une application rationnelle dont le domaine de définition est ${\displaystyle \Omega }$. Considérons le produit fibré ${\displaystyle X\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }Y}$ (on peut remplacer ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$ par ${\displaystyle \mathrm {Spm} k}$ s'il s'agit de variétés algébriques sur ${\displaystyle k}$) muni de ses projections ${\displaystyle p,q}$ sur ${\displaystyle X,Y}$. Considérons l'ensemble des points ${\displaystyle (x,\phi (x))}$ avec ${\displaystyle x\in \Omega }$ dans ce produit[1], et son adhérence ${\displaystyle Z}$ munie de la structure de sous-schéma fermé réduit. On obtient un schéma intègre ${\displaystyle Z}$, un morphisme birationnel ${\displaystyle p:Z\to X}$, et un morphisme ${\displaystyle q:Z\to Y}$.

Ainsi, modulo le morphisme birationnel ${\displaystyle Z\to X}$, l'application rationnelle ${\displaystyle \phi }$ devient un morphisme ${\displaystyle Z\to Y}$.