Morphisme de type fini

Soit ${\displaystyle f:X\to Y}$ un morphisme de schémas. On dit que ${\displaystyle f}$ est de type fini si pour tout ouvert affine ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ est quasi-compact (i.e. réunion finie d'ouverts affines) et que pour tout ouvert affine ${\displaystyle U}$ contenu dans ${\displaystyle f^{-1}(V)}$, le morphisme canonique ${\displaystyle O_{Y}(V)\to O_{X}(U)}$ est de type fini.

On montre que cette propriété est équivalente à la suivante qui est plus facilement vérifiable : il existe un recouvrement de ${\displaystyle Y}$ par des ouverts affines ${\displaystyle V_{i}}$ tels que chaque ${\displaystyle f^{-1}(V_{i})}$ soit la réunion d'un nombre fini d'ouverts affines ${\displaystyle U_{ij}}$ avec ${\displaystyle O_{Y}(V_{i})\to O_{X}(U_{ij})}$ de type fini.

On dira aussi que ${\displaystyle X}$ est un schéma de type fini sur ${\displaystyle Y}$. Lorsque ${\displaystyle Y=\mathrm {Spec} A}$, on dit aussi que ${\displaystyle X}$ est de type fini sur ${\displaystyle A}$.

Exemples

• Si ${\displaystyle A\to B}$ est un morphisme d'anneaux de type fini, alors le morphisme de schémas associé ${\displaystyle \mathrm {Spec} B\to \mathrm {SpecA} }$ est de type fini. En particulier, si ${\displaystyle A=k}$ est un corps et ${\displaystyle B}$ une algèbre de type fini sur ${\displaystyle A}$, alors ${\displaystyle \mathrm {SpecB} }$ est une variété algébrique sur ${\displaystyle k}$.

• Un espace projectif ${\displaystyle {\mathbb {P} }_{A}^{n}}$ est de type fini sur ${\displaystyle A}$.

On fixe un corps ${\displaystyle k}$.

Soit ${\displaystyle X}$ un schéma de type fini sur ${\displaystyle k}$. Soit ${\displaystyle X^{0}}$ le sous-ensemble des points fermés de ${\displaystyle X}$, muni de la topologie induite par celle de ${\displaystyle X}$ et on note ${\displaystyle i:X^{0}\to X}$ l'inclusion canonique. Alors le couple ${\displaystyle (X^{0},i^{-1}O_{X})}$ est un espace localement annelé isomorphe à une variété algébrique.

Ce procédé définit un foncteur de la catégorie des schémas de type fini sur ${\displaystyle k}$ vers la catégorie des variétés algébriques sur ${\displaystyle k}$. On montre que ce foncteur est une équivalence de catégories. Ainsi, les points de vue schémas de type de fini et variétés algébriques sont essentiellement équivalentes.

• Une immersion fermée est un morphisme de type fini.

• Une immersion ouverte dans un schéma noethérien est de type fini.

• La composition de morphismes de type fini est de type fini.

• Si ${\displaystyle X\to Z}$ et ${\displaystyle Y\to Z}$ sont de type fini, alors le produit fibré ${\displaystyle X\times _{Z}Y\to Z}$ est de type fini.

• Si ${\displaystyle X\to Y}$ est de type fini et si ${\displaystyle Z\to Y}$ est un morphisme de schémas, alors le changement de base ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ est de type fini.

• En particulier, pour tout point ${\displaystyle y\in Y}$, la fibre ${\displaystyle X_{y}=X\times _{Y}\mathrm {Spec} k(y)}$ est de type fini sur le corps résiduel ${\displaystyle k(y)}$, c'est donc une variété algébrique sur ${\displaystyle k(y)}$. Ainsi ${\displaystyle X\to Y}$ peut être vu comme la famille des variétés algébriques ${\displaystyle X_{y}}$ paramétrée par les points de ${\displaystyle Y}$, et sur des corps de base éventuellement variables.

• Si ${\displaystyle f:X\to Y}$ est un morphisme de ${\displaystyle S}$-schémas de type fini, alors ${\displaystyle f}$ lui-même est de type fini. En particulier, un morphisme entre deux variétés algébriques est automatiquement de type fini.

Si on considère ${\displaystyle \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} [T])\to \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$, les fibres sont les droites affines ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}}$ (fibre au-dessus du point correspondant à l'idéal nul de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) et les ${\displaystyle \mathbb {A} _{{\mathbb {F} }_{p}}^{1}}$ (fibre au-dessus du point correspondant à l'idéal maximal ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$ de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) pour les nombres premiers ${\displaystyle p}$. En quelque sorte ${\displaystyle \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} [T])}$ encode les droites affines sur tous les corps premiers.

A. Grothendieck et J. Dieudonné : Éléments de géométrie algébrique, Chapitre I. Springer Verlag, 1971. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften ; 166).