Rosace (mathématiques)

À une similitude près, ces courbes sont définies par une équation polaire de la forme :

${\displaystyle \!\,r=\cos(k\theta )}$

ou sous forme paramétrique par les fonctions :

${\displaystyle \!\,x=\cos(k\theta )\sin(\theta )}$

${\displaystyle \!\,y=\cos(k\theta )\cos(\theta )}$

k étant un nombre réel :

• si k est rationnel, alors la courbe est fermée et de longueur finie ; Dans ce cas et en considérant ${\displaystyle k=p/q}$, la courbe se fermera lorsque l'angle polaire ${\displaystyle \theta =\pi qm}$ ;
  • Avec ${\displaystyle m=1}$ si ${\displaystyle pq}$ est impair.
  • Avec ${\displaystyle m=2}$ si ${\displaystyle pq}$ est pair.
• si k est irrationnel, alors la courbe n'est pas fermée et sa longueur est infinie.

La rosace aura :

• k pétales si k est un entier impair, car la courbe est entièrement tracée quand θ varie de 0 à π (quand θ varie de π à 2π, la courbe repasse par les points déjà tracés) ;
• 2k pétales si k est un entier pair, car la courbe est tracée exactement une fois quand θ varie de 0 à 2π.
• 4k pétales si k est une fraction irréductible de dénominateur 2 (exemples : 1/2, 5/2) ;
• 12k pétales si k est une fraction irréductible de dénominateur 6 et supérieure à 1 (exemples : 7/6, 17/6).

• Rosaces
• 
  à 7 pétales (k=7)
• 
  à 8 pétales (k=4)
• 
  à 20 pétales (k=10)

Si k est une fraction irréductible de dénominateur 3 et supérieure à 1, la rosace aura :

• 3k pétales si son numérateur est impair (exemples : 5/3 et 7/3) ;
• 6k pétales si son numérateur est pair (exemples : 4/3 et 8/3).

Le terme rhodonea a été choisi par le mathématicien italien Luigi Guido Grandi entre 1723 et 1728[1].

Une rosace dont l'équation polaire est de la forme

${\displaystyle r=a\cos(k\theta )}$

où k est un entier positif, a une aire égale à

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,{\rm {d}}\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}$

si k est pair et

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,{\rm {d}}\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}$

si k est impair.

Le même principe s'applique aux rosaces d'équation polaire de la forme :

${\displaystyle r=a\sin(k\theta )}$

puisque leurs graphes ne sont que des images par rotation des rosaces définies en utilisant le cosinus.