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Relevé horizontal

En géométrie différentielle, il existe plusieurs notions différentes mais intimement reliées de relevé horizontal.

Généralement, il s'agit de relever une entité géométrique depuis la base d'un fibré principal à une entité géométrique sur le fibré principal.

Pour ce faire, il faut que le fibré principal en jeu soit muni d'une distribution horizontale ou encore, de maniÚre équivalente, d'une 1-forme de connexion.

DĂ©finition

Soient :

  • , un groupe de Lie ;
  • , une variĂ©tĂ© diffĂ©rentielle ;
  • , un -fibrĂ© principal sur ;
  • , une 1-forme de connexion sur ;
  • , la distribution horizontale.
Définition (relevé horizontal d'un vecteur)

Un relevé horizontal d'un vecteur tangent est un vecteur tel que :

  • Remarque : le vecteur tangent est horizontal en ce sens qu'il repose en la distribution horizontale
Définition (relevé horizontal d'un champ vectoriel)

Le relevé horizontal d'un champ vectoriel est le champ vectoriel tel que :

  • Remarque : le champ vectoriel est horizontal en ce sens qu'il repose partout en la distribution horizontale
Définition (relevé horizontal d'un chemin différentiable)

Un relevé horizontal d'une courbe différentiable est une courbe telle que pour tout on ait:

.
  • Remarque : la courbe est horizontale en ce sens qu'elle est partout tangente Ă  la distribution horizontale .
Définition (relevé horizontal d'une sous-variété)

Soit une sous-variété.

Supposons que la 2-forme de courbure meurt sur .

Alors, se relÚve à une sous-variété horizontale en .

Notes et références

    Bibliographie

    • (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry,
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