Relation de Hasse–Davenport

Soit F un corps fini à q éléments, et F _s le corps tel que [F_s : F ] = s, c'est-à-dire que s est la dimension de l' espace vectoriel F _s sur F.

Soit ${\displaystyle \alpha }$ un élément de ${\displaystyle F_{s}}$, et ${\displaystyle \chi }$ un caractère multiplicatif de F.

Soit ${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha )}$ la norme de ${\displaystyle F_{s}}$ sur ${\displaystyle F}$ définie par

${\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,}$

Soit ${\displaystyle \chi '}$ le caractère multiplicatif sur ${\displaystyle F_{s}}$ qui est la composition de ${\displaystyle \chi }$ avec la norme de F _s sur F, c'est-à-dire

${\displaystyle \chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

Soient enfin ψ un caractère additif non trivial de F, et ${\displaystyle \psi '}$ le caractère additif ${\displaystyle F_{s}}$ qui est la composition de ${\displaystyle \psi }$ avec la trace de F _s sur F, c'est-à-dire

${\displaystyle \psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))}$

et

${\displaystyle \tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)}$

la somme de Gauss sur F, et soit ${\displaystyle \tau (\chi ',\psi ')}$ la somme de Gauss sur ${\displaystyle F_{s}}$.

La relation de redressement de Hasse-Davenport montre que

${\displaystyle (-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').}$

La relation de produit Hasse-Davenport stipule que

${\displaystyle \prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi )}$

où ρ est un caractère multiplicatif d'ordre m divisant q –1 et χ est un caractère multiplicatif et ψ est un caractère additif non trivial.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hasse–Davenport relation » (voir la liste des auteurs).

•  (de) Harold Davenport et Helmut Hasse, « Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (On the zeros of the congruence zeta-functions in some cyclic cases) », Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 172,‎ 1935, p. 151–182 (ISSN 0075-4102, zbMATH 0010.33803, lire en ligne)
•  Benedict H. Gross et Neal Koblitz, « Gauss sums and the p-adic Γ-function », Annals of Mathematics, vol. 109, n^o 3,‎ 1979, p. 569–581 (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1971226, JSTOR 1971226, MR 534763)
• Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1990, 158–162 (ISBN 978-0-387-97329-6, lire en ligne)
• André Weil, « Numbers of solutions of equations in finite fields », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 55, n^o 5,‎ 1949, p. 497–508 (ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , MR 0029393)